Extremwertaufgabe trapez

Question

Ich komme bei einer extremwertaufgabe nicht weiter.

Gegeben ist ein Trapez mit drei Seiten a=15 und der unteren Seite x+a+x. Das Trapez soll so berechnet werden das die Fläche maximal wird und der Beweis soll erbracht werden. Die Höhe ist nicht gegeben und x natürlich auch nicht.

Meine hauptbedingung ist

A=1/2(a+c)h mit c= 2x+a

Auch mein Versuch über die beiden Dreiecke die Höhe zu erwischen schlug fehl. Bin für jeden Denkanstoß dankbar.

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Hier noch die Skizze:

Answer 1

die Höhe ist selbst auch von x-Abhängig, also eine Funktion von x. Für den Flächeninhalt wird dann:

$$ A(x)= \frac{a+c}{2}\cdot h(x) $$

mit c= 2x+a und h(x)=√(a²-x²) wird daraus:

$$ A(x)= \frac{a+(2x+a)}{2}\cdot \sqrt { a^2-x^2 }=(a+x)\cdot \sqrt { a^2-x^2 } $$

das ist jetzt mit Produktregel abzuleiten und hernach zu Null zu setzen... :)

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Und ich hab versucht erst x bzw. die Höhe über die Winkelneziehungen auszurechnen...

Ich bin überhaupt nicht auf die Idee gekommen die Höhe als Teil der Funktion zu sehen.

Danke für die schnelle Hilfe.

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Als erste Ableitung hab ich

A'(x)=(√a^2 -x^2 )+ (a+x)/2√a^2-x^2

Passt das soweit?

Bekomme immer noch nichts für x heraus?!? Bzw. x=1;-1

Was aber nicht stimmen kann?!?

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Die Ableitung passt nicht. Den Wurzelausdruck musst Du mit Kettenregel ableiten. Meine Ableitung ist:

$$ \frac{-2x^2-ax-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} $$ 

Hier ist nun der zähler gleich null zu setzen... Ich finde x=-a (nicht relevant)und x=a/2 

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Meine erste Ableitung ist √(a^2-x^2) -x(x+a)/√(a^2-x^2)

Wurzel nach kettenregel abgeleitet und den Rest nach Produkt. Warum passt sie nicht?

F(x)= (x+a)*√(a^2-x^2)

U(x)= x+a        V(x)= √(a^2-x^2)

U'(x)= 1           V'(x)= g'(h(x))*h'(x)

g(x) =√x         g'(x)=1/2√x

h(x)= a^2-x^2        h'(x)= -2x

V'(x)= -2x/2√(a^2-x^2)

F'(x)= u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)

= √(a^2-x^2) -x(x+a)/√(a^2-x^2)

Hmmmmmm, nun weiß ich nicht weiter....

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Deine Ableitung ist richtig, jetzt musst Du das nur noch zusammenfassen:

$$ A'(x) = \sqrt{a^2-x^2}-\frac{x(a+x)}{\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{\sqrt{a^2-x^2}\cdot\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{x(a+x)}{\sqrt{a^2-x^2}} $$

$$ A'(x)= \frac{(a^2-x^2)-x(a+x)}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

und den Rest schaffst Du alleine.

ps: in meiner Ableitung oben ist ein Vorzeichenfehler, finde ihn ;) Am Endergebnis ändert das jedoch nichts. x= a/2