Wachstumsgeschwindigkeit eines Baumes

Question

Die Wachstumsgeschwindigkeit eines Baumes in cm pro Jahr kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x) = 90*0,87^x beschrieben werden, wobei x die Zeit in Jahren nach der Pflanzung angibt. Der Baum ist zum Zeitpunkt der Pflanzung 90 cm hoch.

a) Schreiben Sie die Funktion mit der Basis e

b) Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit nach 10 Jahren.

c) Berechnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit 50 cm pro Jahr beträgt.

d) Zeigen Sie, dass F(x) = 90/ln(0,87) * e^ln(0,87)x eine Stammfunktion von f ist.

e) Berechnen Sie die Höhe des Baumes nach 20 Jahren.

f) Berechnen Sie die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit innerhalb der ersten 20 Jahre.

Answer 1

Für deine erste Frage:


Kennst du die folgende Eigenschaft?

$$e^{\ln x}=x$$


 Wie könnte man diese Eigenschaft anwenden? Hast du eine Idee?

Comments

90*e^ln(0,87)x

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Richtig!!! Hast du für die zweite Frage was versucht?

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für x 10 einsetzen?

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So würde ich es auch machen.

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für c dann die funktion mit 50 gleichsetzten, und was muss man aber bei der e machen?

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Für c, um zu finden wann die Wachstumsgeschwindigkeit 50 cm pro Jahr beträgt löst du die Gleichung f(x)=50.


$$$$

Für e:

Der Baum ist zum Zeitpunkt der Pflanzung 90 cm hoch.

Also ist die Höhe des Baumes nach 20 Jahren dann gleich: 90+f(20).

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Achso, ich verstehe. Und zu guter letzt f?

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 Die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit innerhalb der ersten 20 Jahre ist dann gleich:


$$\frac{\int_0^{20} f(x) dx}{20}$$



Kannst du es berechnen?

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Ahhhhhh ja klar hatten wir kürzlich irgendwann im Unterricht. Ich bedanke mich für die späte Hilfe :)

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Ich freue mich, dass ich helfen konnte :)

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Die Funktion beschreibt doch die Wachstumsgeschwindigkeit des Baums.

e) $$ 90+\int _{ 0 }^{ 20 }{ f(x)dx }  $$

f) Einfach die Steigung der Sekante bestimmen:

$$ \frac { f(20)-f(0) }{ 20-0 } $$

Oder liege ich falsch?

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Ja ich liege bei der f falsch es muss doch folgendes sein:

$$ \frac { \int _{ 0 }^{ 20 }{ f(x)dx }  }{ 20 }  $$

Richtig wäre

$$ \frac { F(20)-F(0) }{ 20-0 } $$

was ja aber auf das selbe hinausläuft ^^

Answer 2

Für d) Die Definition der Stammfunktion sollte dir hierbei helfen F'(x)=f(x)