∑(n^10)/10^n ist absolut konvergent (Lösungskontrolle).

Question

ich habe die Aufgabe: Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{10}}{10^n} $$

Ich habe eine Lösung, nur bin ich mir nicht ganz sicher:
Wurzelkriterium: $$ \overline{lim} \frac{|\sqrt[n]{n^{10}}|}{|\sqrt[n]{10^n}|} = \overline{lim}\frac{\sqrt[n]{n^{10}}}{10} $$
Weiterhin gilt: $$ \sqrt[n]{n^{10}} = n^{\frac{10}{n}} $$
Für n gegen unendlich geht 10/n gegen 0, somit n^{10/n} gegen 1
- da ja n⁰ = 1 ist. 

Es gilt somit:

$$  \overline{lim}\frac{\sqrt[n]{n^{10}}}{10} \rightarrow \frac{1}{10} < 1 $$

Somit ist die Reihe (absolut) konvergent. Richtig?

Answer 1

Hallo. Alles richtig. Kannst du so machen. Beachte aber,dass der Betrag ,wenn du mit dem Wurzelkriterium anfängst, unter der Wurzel steht.