Aufgabe: Untersuchen Sie mit Hilfe des Wurzel- bzw. Quotientenkriteriums auf Konvergenz (z ∈ ℂ)
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\arctan{n}}{2} z \right)^n $$
Habe das Wurzelkriterium benutzt:
$$ \overline{lim}\sqrt[n]{\left|\left( \frac{\arctan{n}}{2} z \right)^n \right|} = \overline{lim}\left|\frac{\arctan{n}}{2} z\right| = \overline{lim}\left( \frac{\arctan{n}}{2} |z| \right)$$
arctan n geht gegen π/2. z geht gegen z.
Und nun komme ich nicht weiter. Für π/2 gilt nach dem Wurzelkriterium, dass die Reihe divergent ist (da ja π größer 2, somit der limes < 1). Was ist nun mit dem z (komplexen zahl)?
Die Reihe ist konvergent (ist so gegeben).