Also:
$$ \sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$$
$$ \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \cdot \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = \frac{n(n+1)-n)}{\sqrt{n}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = \text{STOP}$$
Bei dem Versuch die ganze Reihe zu erweitern kommt man nicht weiter. Nach deiner empfehlung soll ich nur ein Teil der Reihe erweitern. Wusste gar nicht, das man das darf. Also:
$$(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \cdot \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{n+1 - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} $$
Wenn ich nun dazu √n multiplitziere, habe ich:
$$ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} $$
Ich verstehe nun aber nicht das Kürzen. Wir müssten ja aus √(n+1) irgendwie das √n rausbekommen, so dass wir dann √n vor die klammer setzen könnten.