Zeige: Die beiden Reihen haben dasselbe Konvergenzverhalten.

Question

Aufgabe:

Es seien [an und [bn zwei Reihen mit positiven Gliedern und es existiere γ := lim an/bn  > 0. Zeige: Die beiden Reihen haben dasselbe Konvergenzverhalten.

[ soll das Summenzeichen sein

Problem/Ansatz:

Ich habe mir gedacht, man könnte so anfangen, dass man sagt cn = an/bn die Folge cn ist divergent, da Nullkriterium Somit ist auch die Reihe cn divergent, aber dann weiß ich nicht weiter, ob mir das überhaupt hilft oder ob ich da anders ansetzen muss. Bin dankbar für jede Antwort.

Answer 1

Die Folge \(a_n/b_n\) konvergiert, ist also beschränkt, etwa \(|a_n/b_n|\lt K\)

für alle \(n\). Wenn \(\sum b_n\) konvergiert, also wegen \(b_n\geq 0\) sogar

absolut konvergiert, konvergiert auch \(\sum Kb_n=K\cdot \sum b_n\) absolut.

Wegen \(Kb_n\geq (a_n/b_n)b_n=a_n\) ist damit \(\sum Kb_n\) eine konvergente

Majorante von \(\sum a_n\), also konvergiert \(\sum a_n\).

Da \(\gamma>0\) ist, konvergiert auch \(b_n/a_n\) mit Limes \(1/\gamma\).

Hieraus ergibt sich die umgekehrte Implikation,

q.e.d.

Comments

Vielen Dank vorab für die schnelle Antwort. Ich hätte aber eine Frage und zwar wie kommst du darauf, dass b_n  konvergiert?

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Ist zudem die Folge a_n/b_n nicht divergent, da der lim a_n/b_n >0? Oder verwechsle ich gerade etwas?

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Wenn die Reihe \(\sum b_n\) konvergiert, bilden die \(b_n\)

notwendig eine Nullfolge, was man hier aber garnicht benötigt.

Die Folge \(a_n/b_n\) konvergiert nach Voraussetzung; denn da steht ja,

dass ihr Limes existiert.

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Achso stimmt, bin gerade irgendwie davon ausgegangen, dass der Limes theoretisch auch unendlich sein kann, aber das macht ja keinen Sinn. Vielen Dank.

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Noch eine letzte Frage, warum willst du zeigen, dass auch b_n/an konvergiert und wie ergibt sich das aus 1/γ?

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Wenn \(c_n\) eine konvergente Folge ist mit \(\lim c_n\neq 0\). dann ist auch

\(1/c_n\) eine konvergente Folge mit \(\lim 1/c_n = 1/(\lim c_n)\).

Das ist einer der Limes-Sätze für konvergente Folgen.

Warum ich \(b_n/a_n\) benötige? Weil ich von der

Konvergenz von \(\sum a_n\) auch auf die Konvergenz von \(\sum b_n\)

schließen soll.

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Stimmt umgekehrt auch noch zeigen... Vielen Dank nochmal, muss mir wohl Folgen und Reihen, noch etwas mehr verinnerlichen.

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Super Idee ;-)