∑(n=1 bis unendlich)(n^1/2)((n+1)^{1/2} - n^{1/2}) ist divergent. Warum?

Question

ich habe hier die Reihe:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$$
Die ist divergent (geprüft von einer Fachkraft).
Ich habe die Divergenz mit der Partialsumme gezeigt, doch war es für ihn etwas unverständlich.
Hier meine Lösung (Partialsummen):
$$ \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{4} - 3\sqrt{3} + ... + \sqrt{n-1} \sqrt{n} - (n - 1) + \sqrt{n} \sqrt{n+1} - n  = \\ -1 - \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{4} - ... + 1 - 2n = \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{4} - ... - 2n $$
Die Summe dieser Folge ist -∞, somit ist diese Reihe divergent.

Irgendwelche eindeutigeren Lösungsvorschläge?
- Majoranten/Minorantenkriterium kann ich nicht benutzen (keine Abschätzung, die mir einfällt).
- Wurzelkriterium macht es mit den Wurzeln nur noch schlimmer.
- Qutientenkriterium hilft auch nicht weiter.
- Verdichtungssatz ebenso.

Danke.

Comments

Hast du schon probiert mit dem 3. Binom einen Bruchterm aus dem 2. Faktor zu machen?

(√(n+1) - √n) = ((n+1) - n)/(√(n+1) + √n))

= 1/(√(n+1) + √n))

Answer 1

Hast du schon probiert mit dem 3. Binom einen Bruchterm aus dem 2. Faktor zu machen?

(√(n+1) - √n) = ((n+1) - n)/(√(n+1) + √n))

= 1/(√(n+1) + √n))

Nun die ganzen Summanden:

√(n)/√(n+1) + √n))          | kürzen mit 1/√n

= 1 /(√(1 + 1/n) + √1)       | n gegen unendlich

------> 1/(1+1) = 1/2

Die Summandenfolge ist keine Nullfolge. Daher konvergiert die Reihe nicht.

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Also:

$$ \sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$$
$$ \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \cdot \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = \frac{n(n+1)-n)}{\sqrt{n}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = \text{STOP}$$

Bei dem Versuch die ganze Reihe zu erweitern kommt man nicht weiter. Nach deiner empfehlung soll ich nur ein Teil der Reihe erweitern. Wusste gar nicht, das man das darf. Also:

$$(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \cdot \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{n+1 - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} $$

Wenn ich nun dazu √n multiplitziere, habe ich:
$$ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} $$

Ich verstehe nun aber nicht das Kürzen. Wir müssten ja aus √(n+1) irgendwie das √n rausbekommen, so dass wir dann √n vor die klammer setzen könnten. 

---

Habs glaube ich begriffen:
$$ \lim\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n(1+\frac{1}{n})}+\sqrt{n}} = \lim\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{(1+\frac{1}{n})}+\sqrt{n}} = \lim\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)} \rightarrow \frac{1}{2}$$

Somit ist das notwendige Kriterium verletzt und die Reihe divergiert.

Answer 2

versuche mal den Summanden mit ( wurzel(n+1)  +  wurzel(n) ) zu erweitern, das gibt

wurzel(n)* ( wurzel(n+1) - wurzel(n) ) *  ( wurzel(n+1) + wurzel(n) )   /    ( wurzel(n+1) + wurzel(n) )

=   wurzel(n)* (n+1 - n) )   /    ( wurzel(n+1) + wurzel(n) )

=   wurzel(n)   /    ( wurzel(n+1) + wurzel(n) )       Dannmit √(n) kürzen

= 1  /  (  wurzel((n+1)/n)  + 1 )    nun ist aber     (  wurzel((n+1)/n)  + 1 ) < 3 für alle n aus IN
also   1  /  (  wurzel((n+1)/n)  + 1 ) > 1/3
Damit konvergieren die Summanden nicht gegen Null, und also ist die Reihe divergent.