Aus eine Summe eine Reihe schreiben: 1 + 2/3 + 6/15 + 24/105 ...

Question

Aufgabenstellung: Schreiben si die folgenden Reihe in Form ∑a_n.
$$ 1 + \frac{1\cdot 2}{1 \cdot 3} + \frac{1\cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 3 \cdot 5} ... $$

Was mir zu schaffen macht ist, dass die vorherigen Zahlen immer bleiben.
Also ich könnte die Reihen so aufschreiben:

$$ \sum_{n=1}^1 n + \sum_{n=2}^2 \frac{(n-1) \cdot (n)}{(n-1) \cdot (n+1)} + \sum_{n=3}^3 \frac{(n-2) \cdot (n-1) \cdot (n)}{(n-2) \cdot (n) \cdot (n + 2)} ... $$

Dies soll ich nun aber als eine Summe in der Form $$ \sum_{n=1}^\infty a_n $$

aufschreiben. Irgendwelche Ideen?

Answer 1

wenn die Faktoren im Nenner nicht fehlen würden, wäre es ja einfach

an = n!  / ( 2n-1)!
Und die fehlenden Faktoren müssen im Zähler dazu, damit man sie kürzen kann,
Die zu kürzenden Faktoren sind zuerst 1 dann 2 dann 2*4 dann 2*4*6
                                               also              1          2*1!         2*2!            2*3!  
könnte ungefähr so aussehen, allerdings stimmt dann a1 nicht, der Rest aber wohl schon                                                                                 

an = (n! * 2*(n-1)! )  /   (2n-1)!

und davon die Summe von n=1 bis ...

Comments

könnte ungefähr so aussehen

mit Betonung auf "ungefähr"

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Bin froh, dass ich mit meiner Anfangslösung:
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2n-1} $$ nicht so falsch gelegen habe.
Für diese Reihe wäre dann die Summe:
$$ \frac{1}{2-1} + \frac{1 \cdot 2}{4 - 1} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6-1} ... $$

Für den Zähler gilt dies schonmal.
Wenn ich es richtig begriffen habe, möchten wir so etwas erreichen:

$$ \frac{1\cdot 2}{1 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} ... $$

Da haben wir dann letztendlich:
$$ \frac{1}{1} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1\cdot 3} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{1 \cdot 3} ... $$
Habe es wohl nicht so richtig begriffen :(.

Die empfohlene Reihe:
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 2(n-1)!}{(2n-1)!} $$ würde dann so aussehen:
$$ \frac{1 \cdot 2}{1} + \frac{2 \cdot 2}{3} + \frac{6 \cdot 4}{120} $$

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Korrektur:
es passt wohl eher

n! * 2^n-1 * (n-1) !  /  (2n-1) ! das wäre dann
1! * 2^0 * 0! / 1!    +    2! * 2^1 * 1! / 3!  +  3! * 2^2 * 2! / 5!
=         1                 +   4 / 6                       +      6*4 * 2 / 120
=         1               + 2/3                            +               6/15
nehmen wir zur Kontrolle noch den Fall n=4

4! * 2^3 * 3!  /   7!   =   1*2*3*4  *2*2*2 * 1*2*3 / 1*2*3*4*5*6*7
                              =   1*2*3*4    2*4*6  /   1*2*3*4*5*6*7
       Die roten sollen stehen bleiben, die blauen werden gekürzt
                       =      1*2*3*4   /    1*3*5*7     passt!
                      = 24/105