Reihe in Summenschreibweise schreiben

Question

Aufgabe:

Um mit der Reihe zu rechnen müsste ich sie mit Summenzeichen schreiben (Muss den Konvergenzradius finden)

Aber ich stehe auf dem Schlauch. Kann mir vielleicht jdm helfen?

Problem/Ansatz:

\( 1+\frac{1}{2} z+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} z^{2}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} z^{3}+\dots \)

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$$a_n=\frac{(2n)!}{\left(2^n\cdot n!\right)^2}=\frac1{2^{2n}}\binom{2n}n.$$

Answer 1

Verwende die Binomische Reihe.$$(1+z)^{-\frac{1}{2}}=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\ k \end{pmatrix}z^k=1+\frac{1}{2} z+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} z^{2}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} z^{3}+\cdots$$ Interessant könnte zudem sein:

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Binomialkoeffizienten_in_der_Analysis

Comments

Vielleicht auch interessant: \(\displaystyle\binom{-\frac12}1=-\frac12\).