Reihe (((arctan n) z) / 2)^n konvergiert. (mit Lösungsansatz)

Question

Aufgabe: Untersuchen Sie mit Hilfe des Wurzel- bzw. Quotientenkriteriums auf Konvergenz (z ∈ ℂ)
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\arctan{n}}{2} z \right)^n $$

Habe das Wurzelkriterium benutzt:

$$ \overline{lim}\sqrt[n]{\left|\left( \frac{\arctan{n}}{2} z \right)^n \right|} = \overline{lim}\left|\frac{\arctan{n}}{2} z\right| = \overline{lim}\left( \frac{\arctan{n}}{2} |z| \right)$$

arctan n geht gegen π/2. z geht gegen z.

Und nun komme ich nicht weiter. Für π/2 gilt nach dem Wurzelkriterium, dass die Reihe divergent ist (da ja π größer 2, somit der limes < 1). Was ist nun mit dem z (komplexen zahl)?

Die Reihe ist konvergent (ist so gegeben).

Comments

Korrektur:
- da ja π größer 2, somit der limes > 1

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Die Konvergenz/Divergenz hängt von z ab , Stichwort: Konvergenzradius oder aber auch umformen im Kriterium.

Answer 1

Deine Reihe ist eine Potenzreihe,also müssen wir den Konvergenzradius berechen.
Betrachte :
$${ (\frac { arctan\quad n }{ 2 } z{ ) } }^{ n }={ (\frac { arctan\quad n }{ 2 } { ) } }^{ n }*{ z }^{ n }$$

Das Wurzelkriterium musst du also auf:
$${ (\frac { arctan\quad n }{ 2 } { ) } }^{ n }$$ anwenden.

Also :
$$\sqrt [ n ]{ |{ (\frac { arctan\quad n }{ 2 } { ) } }^{ n }| }=(\frac { arctan\quad n }{ 2 } { ) } $$
Lassen wir da mal n gegen unendlich laufen so erhalten wir wie genannt im Nenner PI/2
Also haben wir gesamt PI/4.

Der Konvergenzradius ist nun R= (PI/4) ^{-1} = 4/PI.

Unsere Reihe konvergiert also für alle |z| < 4/PI
Wie es auf dem Rand(|z|=4/PI) aussieht kann man mit dem Kriterium nicht sagen. Bei den reellen Werten kannst du z=4/PI einsetzen und schauen ob es konvergiert. Für die imaginären weiß ich leider nicht,wie du das prüfen kannst.