0 Daumen
783 Aufrufe

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:

\( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k\right)^{2} \), wobei \( n>=1 \) ist


Wenn ich jetzt die Voraussetzung zur Behauptung führen will, scheitere ich an:

\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}+(n+1)^{3} \)

\( \left(\frac{\left(n^{2}+n\right)^{2}+2\left(n^{3}+3 n^{2}+3 n+1\right)}{2}\right) \)

\( \left(\frac{\left.n^{4}+n^{2}+2 n^{3}+6 n^{2}+6 n+2\right)}{2}\right) \)

\( \left(\frac{\left.n^{4}+2 n^{3}+7 n^{2}+6 n+2\right)}{2}\right) \)

Die Linearfaktorzerlegung funktioniert hier allerdings nicht mehr mit dem TR.

Avatar von

Das ist jetzt die Linke Seite,nachdem du die Summe  für n+1 auseinadergezogen hast und die InduktionsVoraussetzung angewendet hast oder?

Ich glaube du hast beim quadrieren des ersten Summanden vernachlässigt,dass du auch den Nenner quadrieren musst.

Und was hast du für die rechte Seite raus für n+1, wenn das mit der Summenformel von Gauß darstellst?

1 Antwort

0 Daumen

Hi,

dein TR ist bei dieser Aufgabe überhaupt nicht nötig.

$$ \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + (n+1)^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 $$

$$ = \frac{n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3}{4} = \frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4} = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2$$

Gruß

Avatar von 23 k

Kannst du mir noch sagen, wie du von

\( =\frac{n^{2}(n+1)^{2}+4(n+1)^{3}}{4} \)

auf

\( \frac{(n+1)^{2}\left(n^{2}+4 n+4\right)}{4} \)

gekommen bist?

Wie man sehen kann wurde \((n+1)^2 \) ausgeklammert...

Weil (4n + 4)(n+1)² = (4n+4)³?

Sorry aber das grenzt schon an Vergewaltigung von Rechenregeln.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community