Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass Σ _{i=0}^{n-1} 2 i+1=n^{2} für jedes n ≥ 1 gilt.

Question

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass \( \sum \limits_{i=0}^{n-1} 2 i+1=n^{2} \) für jedes \( n \geq 1 \) gilt.

Mein Ansatz:

IA: \( \mathrm{n}=1: \sum \limits_{i=0}^{1-1} 2 i+1=1^{2}=\sum \limits_{i=0}^{0} 2 * 0+1=1 \) Stimmt.
IV: Gilt für jedes \( n \geq 1 \)
\( \mathrm{Zu} \) zeigen für \( \mathrm{n}+1 \)
\( \begin{array}{l} \text { IS: } \sum \limits_{i=0}^{(n+1)-1} 2 i+1=(n+1)^{2} \\ \sum \limits_{i=0}^{n} 2 i+1=(n+1)^{2} \\ 2 * 0+1+2 * n+1=n^{2}+1^{2} \\ 2+2 n=n^{2}+1 \text { Stimmt nicht. } \\ \end{array} \)

Ist das so korrekt?

Answer 1

Natürlich ist das nicht korrekt.

1=1²

1+3=2²

1+3+5=3²

usw.

Wenn du die Behauptung "widerlegt" hast, ist an deinem Beweis etwas nicht in Ordnung.

Wir nehmen an, dass dass \( \sum \limits_{i=0}^{n-1} 2 i+1=n^{2} \) tatsächlich gilt.

Du musst zweigen, dass dann  \( \sum \limits_{i=0}^{n} 2 i+1=(n+1)^{2} \) auch gilt.

Dazu kannst du \( \sum \limits_{i=0}^{n} 2 i+1\) als

\((2n+1)+ \sum \limits_{i=0}^{n-1} 2 i+1\) schreiben,

nach Induktionsvoraussetzung also als (2n+1) + n².