Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion über n ∈ N, dass sich jedes σ ∈ Sn als Produkt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion über n ∈ N, dass sich jedes σ ∈ Sn als Produkt
von höchstens (n − 1) Transpositionen schreiben lässt.
Anmerkung: Per Konvention wird das Produkt von null Transpositionen als id{1,...,n} definiert.

Problem/Ansatz:

prinzipiell verstehe ich was Tranpsotionen S_n usw sind.

Sn ist ja:

1 2 3 4 5 ... n

1 2 3 4 5 ... n

bzw (1 1) (2 2)... (n-1 n-1) (n n)

Aber zum einen das Wort "Produkt" wird mir nicht klar, ich weiß man kann Zyklen usw verknüpfen und multiplizieren und das Ergebnis ist das Produkt. aber was ist hier mit "Produkt" gemeint? Das Ergebnis, wenn ich Sn transpositioniere und was meinen die mit HOCHSTENS und n-1 und wie soll ich hier was mit Induktion beweisen. Also ich weiß wirklich nicht was ich hier tun soll und wieso manche formulierungen so gewählt wurden wie sie wurden

Answer 1

Multiplizieren = Verknüpfen

Zeige folgendes Lemma: Für alle n lässt sich jeder k -Zyklus in Sn lässt sich als Produkt von k-1 transposition schreiben.

Das allgemeine Resultat folgt dann fast unmittelbarer.

Induktion einzubauen scheint mir da sehr zwanghaft...