Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass es für jedes m ≥ n genau ... Matrizen gibt.

Question

Aufgabe:

Seien n ≤ m ∈ ℕ zwei natürliche Zahlen

Sei n ∈ℕ. Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass es für jedes m ≥ n genau
(2^m − 1)(2^m − 2) · · · (2^m − 2^n−1)
Matrizen von Rang n in \mathbb{F}^{n x m}
2 gibt.

Problem/Ansatz:

Hallo Freunde,

Das Prinzip der vollständigen Induktion ist bekannt, aber ich verstehe die Frage nicht?

Ich habe einen Tipp:

Wie können Sie eine n ×m-Matrix von Rang n zu einer (n + 1) ×m-Matrix von Rang
n ergänzen und wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

Comments

In der ersten Spalte können m Stellen mit 0 oder 1 besetzt werden, allerdings nicht alle 0, also 2^m-1 Mgl.
In der zweiten Spalte gibt es wieder 2^m Besetzungsmöglichkeiten, allerdings sind um l.U. zu gewährleisten diejenigen nicht möglich, die aus Linearkombinationen der vorherigen Spalte bestehen, das sind 2^1 Stück.
In der dritten Spalte gibt es wieder 2^m Besetzungsmöglichkeiten, allerdings sind um l.U. zu gewährleisten diejenigen nicht möglich, die aus Linearkombinationen der vorherigen zwei Spalten bestehen, das sind 2^2 Stück.
...
In der n-ten Spalte gibt es wieder 2^m Besetzungsmöglichkeiten, allerdings sind um l.U. zu gewährleisten diejenigen nicht möglich, die aus Linearkombinationen der vorherigen n-1 Spalten bestehen, das sind 2^n-1 Stück.