Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ .. gilt

Question

Aufgabe: Sei (S_n) _n∈ℕ eine beliebige, gegebene Folge. Es wird nun eine weitere Folge (a_n)n∈ℕ wie folgt definiert:

a1 = s1 und a_n = S_n - S_{n - 1} für alle n > 1.

Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass dann für alle n ∈ ℕ 

\( \sum\limits_{k=1}^{n} \)  a_k = S_n gilt.

Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich nicht, wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll und sie per Induktion lösen soll. Ich hoffe, dass mir hier jemand erklären kann, wie ich an die Aufgabe herangehen kann.

Answer 1

a1 = s1 und an = Sn - Sn - 1 für alle n > 1.

Beh.:  \( \sum \limits_{k=1}^{n}  a_k = S_n \)

n=1 : Da ist es \( \sum \limits_{k=1}^{1}  a_k = S_1  \)

also      \(  a_1 = S_1  \) und so ist ja a₁ definiert .

Angenommen es gilt für ein n∈ℕ, also \( \sum \limits_{k=1}^{n}  a_k = S_n \)

Dann gilt nach Def. von a_n+1 auch \(  a_{n+1}=S_{n+1} -S_n  \)

Jetzt für S_n die Induktionsannahme einsetzen gibt

             \(  a_{n+1}=S_{n+1} -  \sum \limits_{k=1}^{n}  a_k \)

Summe auf die andere Seite:

   \(  a_{n+1} +   \sum \limits_{k=1}^{n}  a_k =S_{n+1} \)

==>    \(   \sum \limits_{k=1}^{n+1}  a_k =S_{n+1} \)     q.e.d.