Welche der Reihen konvergieren? Wie bestimme ich es?

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren.

a) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}\) \( \frac{2k}{k² + 1} \)

b) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) (-1)^k  \( \frac{1}{10k+100} \)

c) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) \( \frac{k² }{2^k} \)

Problem/Ansatz:

Leider komme ich nicht ganz mit der Aufgabe zurecht. Kann mir jemand erklären, wie ich bestimme welche Reihen konvergieren?

Answer 1

a)   2k / ( k^2 + 1) = 2 / ( k+ 1/k ) > 2/2k =  1/k

Also ist die harmonische Reihe eine divergente Minorante.

==>   Reihe konvergiert nicht.

b)  1 / (10k+100) ist eine streng monoton fallende Nullfolge,

also konvergiert die Reihe nach dem Leibnizkriterium.

c) Quotientenkriterium liefert

a_k+1 / ak = ((k+1)/k )^2 *  (1/2) . Das hat den Grenzwert 1/2,

also konvergiert die Reihe.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort ! Hat mir sehr weitergeholfen! Ich hätte nur noch eine Frage zu a).. Wie kommst du da auf die 2/2k? Kommt das dadurch dass du die beiden k's von dem Term davor addiert hast? Also ich meine von 2/(k+1/k)?

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Nein, es ist nat. Zahlen   k  +  1/k immer kleiner als k+k=2k