Für welche q in Q konvergieren/divergieren die Reihen

Question

Aufgabe:

Es sei \(q\in \mathbb{Q}\) und \(a_n:=\begin{cases} \frac{1}{k} & \text{falls}\space n=2k-1\space\text{für ein}\space k\in\mathbb{N}\\ \frac{1}{k^q}& \text{falls}\space n=2k\space\text{für ein}\space k\in\mathbb{N} \\ \end{cases}\).
Für welche \(q\in\mathbb{Q}\) konvergieren bzw. divergieren die Reihen
\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^q}\) und \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n\)?

Problem/Ansatz:

Für die erste Summe Wurzelkriterium: 
\(\sqrt[n]{|\frac{(-1)^n}{n^q}|}=\frac{1}{|n^{\frac{q}{n}}|}\) Wie geht's da weiter?

Zweite Summe auch Wurzelkriterium:
\(\sqrt[n]{|(-1)^na_n|}=\sqrt[n]{|a_n|}\) und hier?

Answer 1

Hallo

 die erste Reihe ist eine alternierende Reihe, die nach Leibnizregel konvergiert, falls die Summanden eine monotone Nullfolge bilden, die q findest du sicher.

du untersuchst ob die Reihe der Absolutbeträge konvergiert, danach ist nicht gefragt, die konvergiert für q>1

die zweite Reihe hat ja verschiedene a_n, da hat das Wurzelkriterium keinen Sinn, es ist wieder eine alternierende Reihe also untersuche das, oder trenne in 2 Reihen, wenn beide konvergieren, dann auch die Summe

Gruß lul