Text erkannt:
(b) Wir definieren f(n) f(n) f(n) für n∈N0 n \in \mathbb{N}_{0} n∈N0 durch f(0)=2,f(1)=5,f(n)=5f(n−1)−6f(n−2) f(0)=2, f(1)=5, \quad f(n)=5 f(n-1)-6 f(n-2) f(0)=2,f(1)=5,f(n)=5f(n−1)−6f(n−2) für alle n∈N n \in \mathbb{N} n∈N mit n≥2 n \geq 2 n≥2.Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Es gilt f(n)=2n+3n f(n)=2^{n}+3^{n} f(n)=2n+3n für alle n∈N0 n \in \mathbb{N}_{0} n∈N0. Hinweis: Achten Sie auf einen korrekten Induktionsanfang.
Aufgabe:
Hier nur der Induktionsschritt:
f(n)=5f(n−1)−6f(n−2)=f(n)=5f(n-1)-6f(n-2)=f(n)=5f(n−1)−6f(n−2)=
Nun IV anwenden:
=5(2n−1+3n−1)−6(2n−2+3n−2)==5(2^{n-1}+3^{n-1})-6(2^{n-2}+3^{n-2})==5(2n−1+3n−1)−6(2n−2+3n−2)=
=5⋅2n−1+5⋅3n−1−6⋅2n−2−6⋅3n−2==5\cdot 2^{n-1}+5\cdot 3^{n-1}-6\cdot2^{n-2}-6\cdot 3^{n-2}==5⋅2n−1+5⋅3n−1−6⋅2n−2−6⋅3n−2=
=5⋅2n−1+5⋅3n−1−3⋅2n−1−2⋅3n−1==5\cdot 2^{n-1}+5\cdot 3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}-2\cdot 3^{n-1}==5⋅2n−1+5⋅3n−1−3⋅2n−1−2⋅3n−1=
=(5−3)⋅2n−1+(5−2)⋅3n−1=2n+3n=(5-3)\cdot 2^{n-1}+(5-2)\cdot 3^{n-1}=2^n+3^n=(5−3)⋅2n−1+(5−2)⋅3n−1=2n+3n.
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos
