Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Es gilt f(n)=2^{n}+3^{n} für alle n ∈ ℕ.

Question

Text erkannt:

(b) Wir definieren \( f(n) \) für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) durch \( f(0)=2, f(1)=5, \quad f(n)=5 f(n-1)-6 f(n-2) \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 2 \).
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Es gilt \( f(n)=2^{n}+3^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \). Hinweis: Achten Sie auf einen korrekten Induktionsanfang.

Aufgabe:

Answer 1

Hier nur der Induktionsschritt:

\(f(n)=5f(n-1)-6f(n-2)=\)

Nun IV anwenden:

\(=5(2^{n-1}+3^{n-1})-6(2^{n-2}+3^{n-2})=\)

\(=5\cdot 2^{n-1}+5\cdot 3^{n-1}-6\cdot2^{n-2}-6\cdot 3^{n-2}=\)

\(=5\cdot 2^{n-1}+5\cdot 3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}-2\cdot 3^{n-1}=\)

\(=(5-3)\cdot 2^{n-1}+(5-2)\cdot 3^{n-1}=2^n+3^n\).