Induktion: Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ gilt

Question

Aufgabe:

Sei x ∈ ℚ. Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ gilt:

$$ (x+1)^n = \sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}x^{k} $$

Problem/Ansatz:

n = 0:

$$(x+1)^0 = 1 = 1 * 1 = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}x^{0}= \sum \limits_{k=0}^{0}\begin{pmatrix} 0\\k \end{pmatrix}x^{k} $$

n -> n+1:

$$(x+1)^{(n+1)} = (x+1)^{n} * (x+1)= (\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}x^{k})* (x+1)$$

Bis hierhin bin ich gekommen, aber jetzt komme ich nicht ganz weiter, denn die Sachen, die ich dann mache, führen nicht dazu, dass n im Binomialkoeffizient zu n+1 wird. Wäre dankbar für Hilfe. :)

Answer 1

Hier mal der Allgemeine Fall:

Induktionsverankerung \( (n=1): \)
\( \sum \limits_{k=0}^{1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ k \end{array}\right) x^{k} y^{1-k}=y+x=(x+y)^{1} . \)

Induktionsschritt \( (n \Longrightarrow n+1): \)
\( \begin{array}{l} (x+y)^{n+1}=(x+y)^{n} \cdot(x+y) \stackrel{\mathrm{I} \cdot \mathrm{H}}{=}\left(\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) x^{k} y^{n-k}\right) \cdot(x+y) \\[15pt] =\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) x^{k+1} y^{n-k}+\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) x^{k} y^{n-k+1} \\[15pt] =x^{n+1}+\sum \limits_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) x^{k+1} y^{n-k}+\sum \limits_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) x^{k} y^{n-k+1}+y^{n+1} \\[15pt] \stackrel{(1)}{=} x^{n+1}+\sum \limits_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\right) x^{k} y^{n-k+1}+\sum \limits_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) x^{k} y^{n-k+1}+y^{n+1} \\[15pt] =x^{n+1}+\sum \limits_{k=1}^{n}\left[\left(\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)\right] x^{k} y^{n-k+1}+y^{n+1}\\[15pt]=x^{n+1}+\sum \limits_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\right) x^{k} y^{n-k+1}+y^{n+1} \\[15pt] =\sum \limits_{k=0}^{n+1}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\right) x^{k} y^{n+1-k} \end{array} \)

(1) Indexwechsel für die erste Summe \(k'=k+1\)

Comments

Danke dir. :)

Hatte den zweiten Term vergessen, der durch die 1 bei (x+1) entsteht und deshalb kam ich nicht weiter. :D