Question

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N und alle x1,...,xn ≥ 0 gilt:

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2} \leq\left(\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}\right)^{2} \)

Kann jemand die Aufgabe lösen?

Comments

Beginne mit dem Induktionsanfang.

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Die Schrittfolge bei einem Induktionsbeweis ist mir grundsätzlich bekannt, habe es aber noch nie mit einer Folge gemacht, geschweige denn mit Konvergenz! Brauche deshalb unbedingt Hilfe!

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Die Schrittfolge bei einem Induktionsbeweis ist mir grundsätzlich bekannt,

Trotzdem weigerst du dich, für n die 1 einzusetzen und nachzuschauen ob es stimmt.

Answer 1

Auf der rechten Seit steht z.B. für \( n = 2 \) $$ (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 +2 x_1 x_2 + x_2^2 \ge x_1^2 + x_2^2 $$ weil ja \( x_i \ge 0 \) gilt. Das kann man jetzt auch auf $$ \left( \sum_{k=1}^n x_k \right)^2 $$ anwenden. Dann braucht man überhaupt keine Induktion.

Oder so $$ \left( \sum_{k=1}^{n+1} x_k \right)^2 =  \left( \sum_{k=1}^{n} x_k + x_{n+1} \right)^2 =  \left( \sum_{k=1}^{n} x_k \right)^2  + 2 \left( \sum_{k=1}^{n} x_k \right) x_{n+1} +   x_{n+1}^2 \ge \sum_{k=1}^{n+1} x_k^2 $$ weil \( x_k \ge 0 \) gilt und wegen der Induktionsvoraussetzung.

Comments

Dann braucht man überhaupt keine Induktion.

Das weißt du, und das weiß ich.

Die Aufgabe wurde aber gestellt, damit die Schülerinnen und Schüler und sonstige kohlenstoffbasierte Lebewesen Induktionsaufgaben auch für solche Situationen lösen können.