(n+1)^n ≥ (2^n)n! mittels vollständiger Induktion beweisen.

Question

Aufgabe:

(n+1)^n ≥ (2^n)n!   mittels vollständiger Induktion beweisen.

Problem/Ansatz:

Ich komme bis zum Anfang des Induktionsschrittes, aber leider nicht weiter. Ich check nicht, wie man das alles umformen soll und was überhaupt mein Ziel ist.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir formen die Behauptung zunächst etwas um:$$(n+1)^n\ge2^n\cdot n!\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\ge n!$$

Verankerung bei \(n=0\):$$n=0\implies\left(\frac{n+1}{2}\right)^n=\left(\frac{0+1}{2}\right)^0=1\ge1=0!=n!\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):$$\left(\frac{(n+1)+1)}{2}\right)^{n+1}=\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}=\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}$$$$\phantom{\left(\frac{(n+1)+1)}{2}\right)^{n+1}}=\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\cdot\frac{n+1}{2}\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$$Der erste Faktor ist nach Induktionsvoraussetzung \(\ge n!\). Der zweite Faktor bleibt ungeändert und den dritten Faktor können wir mittels der Bernoulli-Ungleichung wie folgt abschätzen:$$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\ge1+\frac{n+1}{n+1}=2$$Daher gilt insgesamt:$$\left(\frac{(n+1)+1)}{2}\right)^{n+1}\ge n!\cdot\frac{n+1}{2}\cdot2=n!\cdot(n+1)=(n+1)!\quad\checkmark$$

Comments

dankeschön hilft mir sehr weiter

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Off topic (ohne Induktion):

$$\quad\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\ge n!$$

lässt sich auch mit dem Satz über das arithmetische und geometrische Mittel beweisen.

Die Zahlenpaare (1, n), (2, n-1), (3,n-2), ... (n-2,3), (n-1,2) und (n,1)   besitzen alle das arithmetische Mittel \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\),

während die geometrischen Mittel
\(\sqrt{1\cdot n}\), \(\sqrt{2 \cdot (n-1)}\), \(\sqrt{3 \cdot (n-2)}\),... \(\sqrt{(n-1) \cdot 2}\) und \(\sqrt{n \cdot1}\) sind.

Das liefert die Ungleichungen

\(\left(\frac{n+1}{2}\right)\ge \sqrt{1\cdot n}\)
\(\left(\frac{n+1}{2}\right)\ge \sqrt{2\cdot (n-1)}\)
\(\left(\frac{n+1}{2}\right)\ge \sqrt{3\cdot (n-2)}\)
...
\(\left(\frac{n+1}{2}\right)\ge \sqrt{n\cdot 1}\).

Multipliziert man alle linken Seiten und alle rechten Seiten, ergibt sich

\(\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\ge \sqrt{n! \cdot n!}\)

\(\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\ge n!\)

Answer 2

Hallo, hier eine Vorgehensweise von mir.

Beweis mit Induktion nach n ∈ |N :

Für n = 1 gilt (1+1)^1 = 2 = 2^1 (Induktionsanfang).

Nun sei n > 1 und die Aussage gelte für dieses n (Induktionsvoraussetzung). Es folg damit auch

2^(n+1) (n+1)! = 2(n+1) 2^n n! ≤ 2(n+1) (n+1)^n

= 2 (n+1)^(n+1)

Nun kann man zeigen, das

[2 (n+1)^(n+1)] / [(n+2)^(n+1)] ≤ 1

Das zeigt dann den Induktionsschritt

Comments

Benutzt Du am Ende Deiner Umformungskette

$$2^n\geq2^{n+1}$$

?

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Nein! Bitte schaue richtig.

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Kommentar nach 1. Korrektur: Am Ende steht nicht die Induktionsbehauptung.