Ungleichung n<2^n ≤ (n+1)! mit vollständiger Induktion zeigen

Question

hallo brauche Hilfe bei vollständiger induktion

man soll durch vollständige Induktion zeigen, das für alle n∈ℕ gilt : 

n<2^n ≤ (n+1)! 

Answer 1

 >    für alle n∈ℕ gilt : n<2ⁿ ≤ (n+1)! 

Das sind zwei kleine Induktionsbeweise:

1)

Für alle n∈ℕ  gilt:  2ⁿ > n

Basis n=1:     2¹ = 2  >  1  ist wahr

Induktionsschluss:   2ⁿ > n  ⇒ 2ⁿ⁺¹ >  n+1

Nachweis:   

2ⁿ⁺¹ = 2 • 2ⁿ  >_IV   2 • n   =  n + n   ≥  n + 1

2)

Für alle n∈ℕ  gilt:  2ⁿ ≤ (n+1)!

Basis n=1:     2¹ = 2  ≤  (1+1)! = 2! = 2  ist wahr

Induktionsschluss:   2ⁿ  ≤  (n+1)!  ⇒ 2ⁿ⁺¹ ≤  (n+2)! 

Nachweis:   

2ⁿ⁺¹ = 2 • 2ⁿ   ≤_IV  2 •  (n+1)!   ≤   (n+2) • (n+1)!   =  (n+2)!

Gruß Wolfgang