Für welche nεN0 gilt die Ungleichung n! > 2n? und beweise anhand vollständiger Induktion.

Question

ich habe schon wieder eine Baustelle und mein Kopf versagt gnadenlos. Kennt sich jemand hiermit aus? LG Lea 

 Für welche nεN0 gilt die Ungleichung n! > 2n ? und beweise sie anhand vollständiger Induktion.

Comments

Meinst du tatsächlich \(n!>2n\) oder doch \(n!>2^n\) ?

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ohhh stimmt entschuldige, ich meine natürlich 2^n, weißt du wie das geht?

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Möglicherweise könnte die Suche helfen. Meines Wissens wurde diese Frage schon mehrfach gestellt.

Answer 1

Hi,

zunächst einmal müssen wir das kleinste n bestimmen für die die Aussage gilt.

Welches ist das?

Comments

ich habe jetzt 4 aufgeschrieben .

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Korrekt!

Also haben wir bis jetzt folgendes:

IA: Für n=4 gilt die Behauptung, da 4! = 24 > 16 = 2⁴  

IV: Für ein festes, aber beliebiges n∈ℕ gilt: n! > 2ⁿ 

Zu zeigen ist nun der Induktionsschritt. Hier müssen wir zeigen, dass (n+1)! > 2⁽ⁿ⁺¹⁾ gilt. (Hierbei müssen wir natürlich voraussetzen, dass unser n ≥ 3 ist, sonst stimmt die Aussage ja nicht wie du selbst gesagt hast. Aber das musst du nicht extra hinschreiben, das sollte dir einfach nur klar sein.)

Es gilt: (n+1)! = n! · (n+1)

Was könntest du nun tun, um den Term nach unten abzuschätzen?

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ich bin ehrlich ich habe keine Ahnung :(

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Nutze die Induktionsvoraussetzung :)

Die Induktionsvoraussetzung musst du immer im Induktionsschritt verwenden.

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ich gebe auf , aber danke für deine Mühe :)

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Ich mache dir den nächsten Schritt mal:

IS:
(n+1)! = n! ·(n+1) > 2ⁿ ·(n+1) ≥ ...≥ 2ⁿ⁺¹ 
Bei den Punkten musst du dir nun noch überlegen was hinkommt.
Hast du da vielleicht eine Idee? Es ist ja 2ⁿ ·2 = 2ⁿ⁺¹ .Du musst also nur noch begründen wieso 2ⁿ ·(n+1) ≥ 2ⁿ ·2 gilt :)

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Also wenn das jetzt wieder falsch ist gebe ich die Aufgabe auf 

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Das ist im Prinzip richtig, die Frage ist nur, wieso n+1 > 2 gilt. Also es stimmt alles so wie es da steht, nur es fehlt noch eine kleine Begründung an dieser Stelle. Wenn n=1 ist, gilt die Ungleichung ja z.B. nicht, da 2 > 2 nicht wahr ist. Aber wie groß ist unser n mindestens?

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4 oder nicht das ist ja unser IA ?

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Richtig :)
(n+1)!  > 2ⁿ⁺¹ gilt für n=3 zwar auch, aber das haben wir ja schon in der IA gezeigt, da (n+1)!  > 2ⁿ⁺¹ mit n=3 das gleich ist wie n!  > 2ⁿ mit n=4. Von daher kannst du also ruhig n ≥ 4 hinschreiben als Begründung.

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bin ich dann damit fertig, kann ich das dann genau so hin schreiben ? :)

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Ja, das kannst du genauso hinschreiben mit der Notiz, dass n ≥ 4 ist :)
Mir fällt gerade noch auf, dass ich in der IV etwas vergessen habe. Die Aussage gilt natürlich nicht für alle natürlichen Zahlen, sondern nur für die, die auch größer gleich 4 sind.

Somit lauten der IA und die IV:

IA: Für n=4 gilt die Behauptung, da 4! = 24 > 16 = 2⁴  

IV: Für ein festes, aber beliebiges n∈ℕ≥4 gilt: n! > 2ⁿ 

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Ich danke Dir :-) war sehr hilfreich !!

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Bitteschön! :)