Zeigen sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ mit n ≥ 6 gilt: 2^n n! < n^n

Question

Aufgabe: Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ mit n ≥ 6 gilt: 2ⁿ n! < nⁿ.

Folgern Sie daraus, dass die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \frac{n!}{n^{n}}} \)  konvergiert.

Hinweis: Im Induktionsschritt kann die Bernoulli-Ungleichung hilfreich sein.

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang: n = 6

2⁶6! < 6⁶ ⇔ 46080 < 46656 ✓

Induktionsannahme: 2ⁿ n! < nⁿ gilt für ein beliebiges, aber festes n ∈ ℕ ≥ 6.

Induktionsschritt: z.z.: 2ⁿ⁺¹ (n+1)! < (n+1)ⁿ⁺¹

Ab hier komme ich nicht weiter, weil ich nicht verstehe, wie ich mit der Bernoulli-Ungleichung rechnen soll.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank

Answer 1

Hallo,

ich schreibe Dir mal die Lösung ein wenig ins Unreine auf - mehr so wie man drauf kommt.

Du willst zeigen:

$$2^{n+1}(n+1)!<(n+1)^{n+1}$$

Die Induktionsvoraussetzung nutze ich in der Form \(2^n < \frac{n^n}{n!}\):

$$2^{n+1}(n+1)!<2\frac{n^n}{n!}(n+1)!=2n^n(n+1) <(n+1)^{n+1}$$

Dabei ist die erste Ungleichung die Induktionsvoraussetzung, die Gleichung entsteht durch Umformen. Wenn wir die letzte Ungleichung zeigen können, sind wir fertig.

Durch Division erhalten wir die äquivalente Ungleichung

$$2<\frac{(n+1)^n}{n^n}=(1+\frac{1}{n})^n$$

Wendet man auf die rechte Seite die Bernoulli-Ungleichung an, sieht man, dass diese Ungleichung richtig ist.

Gruß