Beweis durch vollständiger Induktion: Jede Zahl n ∈ ℕ mit ≥ 24 lässt sich in der Form n = 5k+7c schreiben.

Question

 Aufgabe:

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Beweisen Sie folgende Aussage:

Jede Zahl n ∈ ℕ mit  ≥ 24 lässt sich in der Form n = 5k+7c  mit k,c ∈ ℕ ∪ {0} schreiben.

Problem/Ansatz:

IA : n = 24

24 = 5k + 7c, für k = 2 und c = 2

→ 24 = 10 + 14 

IV : Angenommen die Behauptung gilt für ein n∈ ℕ mit  ≥ 24. Zu zeigen ist dass die Behauptung auch für den Nachfolger gilt.

IS:

n+1 = 5k +7c

Leider fällt mir nicht ein wie ich den Beweis vollenden könnte.

MfG

Answer 1

Zeige mal, dass du 24 bis 28 so darstellen kannst. warum kannst du dann auch alle weiteren Zahlen so darstellen?

24 = 2*7 + 2*5

25 = 0*7 + 5*5

26 = 3*7 + 1*5

27 = 1*7 + 4*5

28 = 4*7 + 0*5

29 = 24 + 5

30 = 25 + 5

31 = ...

etc.

Comments

24 = 5*2+7*2

25 = 5*5

26 = 5*1+7*3

27 = 5*4 + 7*1

28 = 5*0 + 7*4

Wenn n eine gerade Zahl wäre, dann müssten beide Summanden gerade sein. Dadurch das k und c beide Elemente aus den natürlichen Zahlen sind, lässt sich dies bewerkstelligen, indem für k und c gerade Zahlen ausgewählt werden. Wenn statt 5 und 7 zwei gerade Zahlen da stehen würden, dann könnte man alle ungerade Zahlen nicht darstellen, weil eine gerade Zahl multipliziert mit einer geraden/ungeraden Zahl immer eine gerade Zahl als Produkt hätte.

Die niedrigste gerade Zahl die 5k + 7c darstellen können ist 24. Weiter weiß ich nicht.

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Ich glaube ich muss im Induktionsschritt eine Fallunterscheidung machen, bei dem ich den Fall betrachte falls n+1 gerade ist und falls n+1 ungerade ist. Und falls n+1  ein teiler von 5 oder 7 sein sollte lässt sich dies darstellen, indem k oder c null gesetzt wird.

Falls n+1 kein Teiler von 5 oder 7 wäre, müsste ich zeigen, dass 5k + 7c = n trotzdem gilt.

Ist der Ansatz richtig?