Zeigen Sie mit starker Induktion folgende Aussage: Jede Zahl {n} ∈ ℕ_{≥ 12} lässt sich durch Vielfache der Zahlen 4 …

Question

Aufgabe: Starke Induktion

Problem/Ansatz: Das ist meine Aufgabe. Ich verstehe aber nicht wie starke Induktion funktioniert. Daher bitte eine einfache Erklärung ich hab jetzt alles versucht mir die ersten zahlen aufgeschrieben etc. Die Gleichung müßte ja 4a + 5 b = n sein.

Bitte um Hilfe :)

Text erkannt:

Zeigen Sie mit starker Induktion folgende Aussage: Jede Zahl \( \mathrm{n} \in \mathbb{N}_{\geq 12} \) lässt sich durch Vielfache der Zahlen 4 und 5 darstellen. (8 Punkte)
(Tipp: Berechnen Sie die Zusammensetzung der ersten Zahlen, um ein Muster erkennen zu können.)

Answer 1

12 = 3*4 + 0*5

13 = 2*4 + 1*5

14 = 1*4 + 2*5

15 = 0*4 + 3*5

16 = 4*4 + 0*5

...

Sollte denke ich jetzt klar sein oder?

Comments

Leider nicht soweit war ich auch. Aber ich weiß wie gesagt nicht wie vollständige Induktion funktioniert. Aber danke für die Antwort :)

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17 könntest du doch aufteilen in

17 = 13 + 4

Da ich es bereits für 13 gezeigt habe, ist es jetzt auch für 17 gezeigt.

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Also n + 4 benutzen ?

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Genau. für n kannst du es zeigen, weil es für n - 4 ja gilt.

für die starke induktion benutzt du das wenn es für eine anzahl von werten k < n gilt, dass es dann auch für n gilt.

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Also benutzt man starke Induktionen bei Reihen ? Im Prinzip das Gegenteil von Induktion ? Sorry ich habe wirklich nichts verstanden mein Kopf explodiert hier . :(

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Für die vollständige Induktion benutzt du einen Start und schließt wenn es für n-1 gilt darauf das es dann auch für n gilt, oder du folgerst das wenn es für n gilt es auch für n + 1 gilt.

Bei der starken Induktion schließt du darauf, wenn es für alle k < n gilt, dass es dann auch für n gilt.

Hier weißt du also das es für alle

12 <= k < n gilt und schließt darauf, dass es dann auch für n gilt.

also wenn es für n - 4 gilt, dann gilt es auch für n, weil du zu n - 4 ja einmal den Summanden 4 addieren darfst.

Answer 2

Zeige, dass 12, 13, 14 und 15 sich auf die genannte Art darstellenen lassen (Induktionsanfang).

Alle anderen Zahlen ergeben sich, indem man zu jedem dieser 4 Ausgangsbeispiele weitere Vieren dazuaddiert.