Wie lässt sich nachweisen, dass jede rationale Zahl periodisch und jede irrationale Zahl nicht-periodisch ist?

Question

Ich bin gerade über die Dezimalbruchentwicklung gestolpert, als ich hier die Merkmale rationaler Zahlen denen der irrationalen Zahlen gegenüberstellen wollte. Der Text der Wikipedia besagt:

"Jede reelle Zahl lässt sich einer Dezimalbruchentwicklung zuordnen. Bemerkenswerterweise besitzt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung, jede irrationale Zahl dagegen eine nichtperiodische (beachte: eine endlich abbrechende Dezimalbruchentwicklung ist ein Spezialfall der periodischen Dezimalbruchentwicklung, bei der sich nach der endlichen Ziffernfolge die Dezimalziffer 0 oder 9 periodisch wiederholt)."

Ich frage mich bzw. euch nun, wie man diese Aussage mathematisch korrekt herleiten und beweisen kann.

Der Beweis zur Irrationalität ist bekannt. Was rationale Zahlen sind (a/b, a,b ∈ ℤ) ebenfalls.

Comments

Gib jeweils ein Verfahren an, das Brüche in Kommazahlen umwandelt und eines, das periodische Kommazahlen in Brüche. Beim ersten musst du noch begründen, dass etwas Periodisches rauskommen muss. (Bei schriftlicher Division bekommst du irgendwann wieder einen Rest, den es schon mal gab. Grund: Es gibt nur eine endliche Anzahl mögliche 'Reste' (maximal gleich viele verschiedene, wie der Divisor gross ist. Sobald der Rest gleich ist, beginnt die neue Periode.) Aus beiden zusammen folgt deine Behauptung dann direkt.

Answer 1

Wie man eine endliche Dezimalbruchentwicklung als Bruch darstellt, sollte klar sein (z.B. ist \(1,298=\frac{1298}{1000}\in\mathbb{Q}\).

Eine periodische Dezimalbruchentwicklung kann man darstellen als geometrische Reihe, z.B. \( 1,\overline{35} = 1+\sum\limits_{k=1}^\infty 35 \cdot 10^{-2k}=1+35 \cdot \sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{100}\right)^k \).

Mithilfe der Formel für geometrische Reihen sieht man dann, dass jede Zahl, die eine periodische Dezimalbruchentwicklung besitzt, rational ist.

Wir wissen jetzt also, dass jede Zahl mit periodischer oder endlicher Dezimalbruchentwicklung rational ist.

Dass auch jede rationale Zahl eine endliche oder periodische Dezimalbruchentwicklung besitzt, erkennt man mithilfe des "Algorithmus", den man in der Schule für die schriftliche Division kennenlernt:

Wenn man die Division \(a: b\) durchführt (mit \(a,b\in\mathbb{N}\)), dann erhält man entweder irgendwann den Rest 0 (dann ist der Dezimalbruch endlich) oder man kommt irgendwann zu einem Rest, den man bereits hatte. Denn der Rest ist immer eine der Zahlen \(0,...,b-1\), also kleiner als der Divisor; es gibt nur \(b\) mögliche verschiedene Reste, die auftreten können.

Das heißt nach spätestens \(b\) Schritten hat man alle möglichen Reste schon durch, weswegen sich diese dann wiederholen müssen. Und ab da ist die Dezimalbruchentwicklung dann periodisch.

Insbesondere ist die Länge der kürzesten Periode immer maximal \(b-1\).

Comments

in der 4. Zeile stimmt irgendwas mit dem Exponenten nicht, da  steht beim letzten Ausdruck glaub ein -2 zu viel.

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in der 4. Zeile stimmt irgendwas mit dem Exponenten nicht, da steht beim letzten Ausdruck glaub ein -2 zu viel.

Danke für den Hinweis. Ich habe das eben korrigiert.