Beweis: Es gibt keine rationale Zahl x mit x² = 2

Question

Beweisen Sie mit Hilfe einer indirekten Beweisführung den Satz: 

Es gibt keine rationale Zahl x mit x² = 2.

Hilfe!!!

 

Oder anders formuliert: Wie kann ich zeigen, dass Wurzel 2 keine rationale Zahl ist?

Comments

Schau schon mal hier: https://www.matheretter.de/wiki/irrationale-zahlen

Answer 1

Annahme: Sei x =p/q eine rationale Zahl, die die Gleichung x² = 2 erfüllt.

Für diese Zahl müsste dann gelten: p²/q² = 2 bzw. p² = 2q² 

Man denke sich p und q in Primfaktoren zerlegt:

Der Primfaktor 2 möge m-mal in p und n-mal in q vorkommen, dann kommt der Primfaktor 2 (2m)-mal in p² und (2n)-mal in q² vor, also auf der linken Seite der Gleichung (2m)-mal und auf der rechten Seite (2n+1)-mal.

Da aber 2m eine gerade Zahl und 2n+1 eine ungerade Zahl ist, würden p² und 2q² in der Primfaktorenzerlegung eine unterschiedliche Anzahl von Primfaktoren 2 aufweisen. Das steht im Widerspruch zur Annahme.