Zu zeigen: Die Summe zweier Wurzeln ist irrational

Question

a, b ∈ ℕ

wenn $$\sqrt { a } $$ ist irrational ist, ist $$\sqrt { a } +\sqrt { b } $$ auch irrational.

Ich habe mir überlegt, dass ich zwei Fälle unterscheiden kann:

Fall 1: $$\sqrt { b }$$ ist auch irrational

Fall 2: $$\sqrt { b }$$ ist rational

Bei beiden Fällen müsste ich dann zu dem gleichen Schluss kommen.

Ich komme aber nicht weiter.

Comments

Die Frage kam vor 2 / 3 Tagen schon mal. Man kann mit dem 3. Binom indirekt argumentieren. Suche mal bei den vorhandenen Fragen.

Bei beiden Fällen müsste ich dann zu dem gleichen Schluss kommen.

Du musst am Schluss nur in beiden Fällen darauf kommen, dass die Summe irrational ist. Der Weg dorthin muss nicht gleich sein.

Answer 1

a und b sind natürliche Zahlen und a ist keine Quadratzahl. die beiden zu betrachtenden Fälle sind
1.) b ist eine Quadratzahl dann ist √b eine natürliche Zahl und wirkt sich nur vor dem Komma aus. Die Irrationalität liegt aber hinter dem Komma.
2.) b ist keine Quadratzahl. Dann ist √b irrational und die Annahme: "Die Summe zweier irrrationaler Zahle ist rational" kann zum Widerspruch geführt werden. Dieser Widerspruch kann herbeigeführt werden, wenn man von der Gleichung √a +√b = m/n ausgeht und z.B. auf beiden Seiten quadriert sowie dann nach √(ab) auflöst.

Answer 2

Du brauchst keine Fallunterscheidung. Der Beweis kann indirekt geführt werden. Nehme dazu an, dass \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) rational ist. Da \(a - b = (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})\) rational ist, muss \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) ebenfalls rational sein. Daraus folgt aber, dass \(2\sqrt{a} = (\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})\) eine Summe rationaler Zahlen und somit ebenfalls rational ist, dies widerspricht der Forderung der Irrationalität von \(\sqrt{a}\).