Erstmal generell:
Um Konvergenzradius und -bereich einer Potenzreihe $${ a }_{ n }$$ zu berechnen, berchnet man erst den Grenzwert von $$\frac { { a }_{ n +1} }{ { a }_{ n } }$$ und damit dann den Radius und Bereich, korrekt?
Nun habe ich im Internet aber auch Leute gesehen, die den Grenzwert von $$\frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } } $$ nutzen. Hängt das von der Situation ab, macht da eine der beiden Gruppen was falsch, oder ist es einfach Präferenz?
Ich habe nun folgende Aufgabe:
$$\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ k }{ k }^{ 3 } } } { x }^{ k }$$
Hierbei habe ich nun einen Grenzwert von 1/2 berechnet.
$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{\frac { \frac { 1 }{ { 2 }^{ k+1 }{ (k+1) }^{ 3 } } }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ k }{ k }^{ 3 } } } }$$
$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ k+1 }{ (k+1) }^{ 3 } } \frac { { 2 }^{ k }{ k }^{ 3 } }{ 1 } } $$
$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 2 } { \frac { k }{ k+1 } }^{ 3 } } =\quad \frac { 1 }{ 2 } $$
Was also einen Radius von zwei 2 und den Bereich [-2,2] ergeben sollte, sofern ich nicht etwas falsch verstanden habe. Habe ich das korrekt berechnet?
