Zeige, dass folgende Gleichung mit Binomialkoeffizienten stimmt.

Question

Seien a ∈ ℝ und n ∈ ℕ₀

Zeige:

$$\left( \begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} a+1 \\ 1 \end{matrix} \right) +.......+\left( \begin{matrix} a+n \\ n \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} a+n+1 \\ n \end{matrix} \right) $$

Ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll.

Answer 1

Induktionsanfang n = 0

(a über 0) = (a + 1 über 0)

1 = 1

Induktionsschritt n --> n + 1

(a über 0) + ... + (a + n über n) + (a + n + 1 über n + 1) = (a + n + 1 + 1 über n + 1)

(a + n + 1 über n) + (a + n + 1 über n + 1) = (a + n + 2 über n + 1)

(a + n + 1)! / (n!·(a + 1)!) + (a + n + 1)! / ((n + 1)!·a!) = (a + n + 2)! / ((n + 1)!·(a + 1)!)

(a + n + 1)!·(n + 1) / ((n + 1)!·(a + 1)!) + (a + n + 1)!·(a + 1) / ((n + 1)!·(a + 1)!) = (a + n + 2)! / ((n + 1)!·(a + 1)!)

(a + n + 1)!·(n + 1) + (a + n + 1)!·(a + 1) = (a + n + 2)!

(a + n + 1)!·((n + 1) + (a + 1)) = (a + n + 2)!

(a + n + 1)!·(a + n + 2) = (a + n + 2)!

(a + n + 2)! = (a + n + 2)!

Answer 2

Gefordert ist ein Beweis durch vollständige Induktion. Dabei muss aus der Gültigkeit der Formel für n gefolgert werden, dass sie auch für n+1 gilt. Damit ist zu zeigen: ((a+n+1) über n) + ((a+n+1) über (n+1)) = ((a+n+2) über (n+1)).

Nach Verwendung der Definition von (n über k) = n!/(k!(n-k)! wird daraus
(a+n+1)!/(n!(a+1)!) + (a+n+1)!/(a!(n+1!) = (a+n+2)!/((a+1)!(n+1)!)

Und dieses gilt (wie mein CAS bestätigt) tatsächlich.

Answer 3

Geht wohl mit vollst. Induktion.

Dann Ind.anfang:(also für n=0)      ( a über 0 ) = ( a+1 über 0 ) stimmt.

Indschluß:

wenn es für n gilt, dann ist die linke Summe bis n+1

= summe bis n  +    (a+n+1 über n+1)  mit Ind.vor

=   (a+n+1 über n)    +     (a+n+1 über n+1)  

Nach der Rekursion der Binomialkoeff. also

=      (a+n+2 über n+2)      q.e.d.