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4. (15 Punkte) Betrachten Sie die Potenzreihe
\( P(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k} . \)

Der Grenzwert
\( R:=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right| \)
existiere. Zeigen Sie, dass \( R \) der Konvergenzradius von \( P \) ist.
Hinweis: Es ist zu zeigen, dass \( P(x) \) für \( \left|x-x_{0}\right|<R \) konvergiert und für \( \left|x-x_{0}\right|>R \) divergiert.


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz seht ihr im folgenden, ich bin mir aber sehr unsicher ob das so geht, vor allem mit dem Reziproke im letzten Schritt. (Ich weiß die eigentliche Herleitung funktioniert mit dem lim sup, allerdings hatten wir den nicht in der Vorlesung.) Darf ich das so schreiben oder geht das nicht?

IMG_1527.jpeg

Text erkannt:

4) \( z \quad R=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| \)
Für eine Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{k} \) gilt das Quotiententurit.
So honvergiert die Reihe falls \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{b_{k}}{b_{k+1}}\right|<1 \) und
divergiert falls \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{b_{k}}{b_{k+1}}\right|>1 \) So hann man för eine Potenzreihe vom Format \( \sum \limits_{h=0}^{\infty} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k} \) herleiten, dass die Folge honvergiert wenn: \( \lim \limits_{h \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k}}{a_{k+1} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k+1}}\right|<1 \) ist und divergiert wenn \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k}}{a_{k+1} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k+1}}\right|>1 \)
Weiterhin gitt \( \lim \limits_{h \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{h}}{a_{k-1} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{1+1}}\right| \Leftrightarrow \lim \limits_{h \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{h}}{a_{k-1} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{h}\left(x-x_{0}\right)}\right| \)
\( \Leftrightarrow \lim \limits_{1 \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k-1} \cdot\left(x-x_{0}\right)}\right| \Leftrightarrow \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right| \cdot \frac{1}{\left|x-x_{0}\right|} \)
für Konvergenz: \( \lim \limits_{h \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right| \cdot \frac{1}{\left|x-x_{0}\right|}<1 \)
\( \Leftrightarrow \lim \limits_{h \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|<\left|x-x_{0}\right| \Leftrightarrow\left|x-x_{0}\right|<\lim \limits_{h \rightarrow \infty}\left|\frac{\alpha_{k+1}}{\alpha_{k}}\right|=R \)
fir Divergenz : \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right| \frac{1}{\left|x-x_{0}\right|}>1 \Leftrightarrow \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|>\left|x-x_{0}\right| \) \( \Leftrightarrow R=\lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k n}}{a_{k}}\right|>\left|x-x_{0}\right| \) Für \( R=\left|r-x_{0}\right| \) muss die Konv. noch geproutt werden \( \because \)

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Die Rückführung auf das Quotientenkriterium für gewöhnliche Reihen ist grundsätzlich richtig - wenn Ihr das so behandelt habt. Allerdings hast Du konsequent die Brüche "falsch herum" verwendet.

In wie fern habe ich das gemacht? Ich meine das Quotienten Kriterium ist doch a(k)/a(k+1) und in diesem Fall muss dann das Reziproke davon gebildet werden um die relationszeichen umzudrehen oder nicht?

Vergleiche Dein R und R in der Aufgabe.

1 Antwort

+1 Daumen

"   Ich meine das Quotienten Kriterium ist doch a(k)/a(k+1)  "

Das musst du wohl schon ausführlich formulieren:

Quotientenkriterium für Reihen:

Wenn für die Reihe \(  \sum\limits_{k=0}^\infty b_k \) der Grenzwert L:= \(  \lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{b_{k+1}}{b_{k_n}}\right|  \) existiert,

so ist die Reihe absolut konvergent, wenn L<1 , und divergent, wenn L> 1.

Schau mal dort: https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium#Spezialf%C3%A4lle

Avatar von 289 k 🚀

OK ich versehe auf jeden Fall was du meinst.

Jetzt ergibt das mit dem Relationszeichendrehen auch mehr Sinn.

Danke :)

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