Aufgabe:
Text erkannt:
4. (15 Punkte) Betrachten Sie die Potenzreihe
\( P(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k} . \)
Der Grenzwert
\( R:=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right| \)
existiere. Zeigen Sie, dass \( R \) der Konvergenzradius von \( P \) ist.
Hinweis: Es ist zu zeigen, dass \( P(x) \) für \( \left|x-x_{0}\right|<R \) konvergiert und für \( \left|x-x_{0}\right|>R \) divergiert.
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz seht ihr im folgenden, ich bin mir aber sehr unsicher ob das so geht, vor allem mit dem Reziproke im letzten Schritt. (Ich weiß die eigentliche Herleitung funktioniert mit dem lim sup, allerdings hatten wir den nicht in der Vorlesung.) Darf ich das so schreiben oder geht das nicht?
Text erkannt:
4) \( z \quad R=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| \)
Für eine Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{k} \) gilt das Quotiententurit.
So honvergiert die Reihe falls \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{b_{k}}{b_{k+1}}\right|<1 \) und
divergiert falls \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{b_{k}}{b_{k+1}}\right|>1 \) So hann man för eine Potenzreihe vom Format \( \sum \limits_{h=0}^{\infty} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k} \) herleiten, dass die Folge honvergiert wenn: \( \lim \limits_{h \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k}}{a_{k+1} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k+1}}\right|<1 \) ist und divergiert wenn \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k}}{a_{k+1} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k+1}}\right|>1 \)
Weiterhin gitt \( \lim \limits_{h \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{h}}{a_{k-1} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{1+1}}\right| \Leftrightarrow \lim \limits_{h \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{h}}{a_{k-1} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{h}\left(x-x_{0}\right)}\right| \)
\( \Leftrightarrow \lim \limits_{1 \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k-1} \cdot\left(x-x_{0}\right)}\right| \Leftrightarrow \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right| \cdot \frac{1}{\left|x-x_{0}\right|} \)
für Konvergenz: \( \lim \limits_{h \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right| \cdot \frac{1}{\left|x-x_{0}\right|}<1 \)
\( \Leftrightarrow \lim \limits_{h \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|<\left|x-x_{0}\right| \Leftrightarrow\left|x-x_{0}\right|<\lim \limits_{h \rightarrow \infty}\left|\frac{\alpha_{k+1}}{\alpha_{k}}\right|=R \)
fir Divergenz : \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right| \frac{1}{\left|x-x_{0}\right|}>1 \Leftrightarrow \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|>\left|x-x_{0}\right| \) \( \Leftrightarrow R=\lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k n}}{a_{k}}\right|>\left|x-x_{0}\right| \) Für \( R=\left|r-x_{0}\right| \) muss die Konv. noch geproutt werden \( \because \)
