Wann muss man bei Potenzreihen das Ergebnis noch einsetzen und einen Potenzradius/ oder Bereich definieren?

Question

Aufgabe:

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \left( \sqrt { n ^ { 2 } + 20 n } - \sqrt { n ^ { 2 } + 11 } \right) ^ { n } ( x + 1 ) ^ { n } $$

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe reicht es Beispielsweise den Konvergenzradius mit 1 / (an+1 / an) zu berechnen. Bei manchen Potenzreihen hab ich allerdings gesehen, wie man das ergebnis nochmal für x einsetzt und dann prüft ob die Randpunkte auch drin liegen. Anschließend wurde ein Bereich wie Bspw. (-4,4) angegeben.

Woran erkenne ich ob ich das tun muss und was hat es damit auf sich ?

Tim

Answer 1

Hallo

 der Konvergenzradius sagt ja nur dass die Reihe für alle |x+1|<r konvergiert, und nichts darüber was bei |x+1|=r passiert, also muss man sie 2 Werte  am Rand einzeln untersuchen. Das gilt für alle Reihen, warum es hier nicht gelten soll, wüsste ich nicht

Wenn die Frage heisst:Bestimme den Konvergenzradius, musst du den Rand nicht untersuchen, wenn die Frage ist, für welche x konvergiert die Reihe, musst du den Rand untersuchen.

Gruß lul

Comments

Ahh, ja genau der zweite Satz war es was ich wissen wollte. Und wenn ich den Rand untersuche setzte ich einfach den Wert den ich rausbekomme für das x ein und gucke dann ob es konvergiert? (Vermutlich mit den bekannten Konvergenzkriterien wie dem Wurzelkriterium ? )

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Hallo

 auch das Wurzelkriterium liefert nur den Radius. Meist sieht man dass es am positiven Rand divergiert,  durch Vergleich mit ner geometrische. Reihe, am negativen als Leibnizreihe konvergiert.

Gruß lul