Rationale und irrationale Zahlen?

Question

Aufgabe:

Hallo, ich soll bei einer Aufgabe bestimmen ob Zahlen jeweils rational oder Irrational sind, aber ich bin mir leider unsicher ob das stimmt was ich raus habe. Die Zahlen lauten:

a) \( \sqrt[2021]{2022} \)
b) \( \sqrt{\frac{2022}{2021}} \)
c) \( \sqrt{337} \cdot \sqrt{2022} \cdot \sqrt{1,5} \)
d) \( \sqrt{\sqrt{2021}+2022}-1 \)

Problem/Ansatz:

Ich habe da nun raus:

a) Irrational, da keine unendlich lange, periodische Zahl.

b) Irrational, da keine unendlich lange, periodische Zahl.

c) Rational, da sie als Quotient zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann.

d) Irrational, da keine periodische Zahl <!-- /data/user/0/com.samsung.android.app.notes/files/clipdata/clipdata_bodytext_220112_081236_771.sdocx -->

Könnte mir eventuell jemand sagen, ob das so stimmt?

Answer 1

Ergebnisse sind richtig, die Begründungen nicht ganz

vollständig.

Bei c kannst du doch einfach das Erg. angeben: 1011 ist rational.

Bei den anderen wäre es allenfalls so:

unendlich lange Dezimalzahl, die nicht periodisch ist.

Besser wären wohl noch konkretere Angaben, etwa bei a)

Wäre es rational, dann gäbe es einen gekürzten

Bruch (p/q) mit   (p/q)^2021 = 2022

also    p^2021 = 2022 * q^2021

und links und rechts stünden ganze Zahlen, wobei

rechts was gerades steht. Also ist das Linke auch

gerade, also hat p den Primfaktor 2. Somit hat q ihn nicht.

Dann kommt aber die 2 links mindestens 2021 mal

vor, aber rechts nur einmal (in der 2022). Widerspruch !

Also gibt es einen solchen Bruch nicht.

==>   Wert ist irrational.

Comments

Dann werde ich das noch ergänzen, vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort!