Nimm an, dass es eine rationale Zahl \(x=\dfrac{p}{q}\) gibt, für die \(x^3=\dfrac{p^3}{q^3}=7\) gilt. Der Bruch sei vollständig gekürzt. p, q und r seien natürliche Zahlen. Dann führe einen Widerspruchsbeweis.
\(p^3=7q^3\)
7 ist also ein Primteiler von \(p\). Damit ist \(p^3= (7\cdot r)^3=7\cdot (7^2r^3) =7 q^3\)
\(q^3=7^2r^3\)
Damit ist 7 auch Primteiler von \(q\). Voraussetzung war aber, dass der Bruch \(x=\dfrac{p}{q}\) vollständig gekürzt sei. → Widerspruch!
