Teilbarkeit durch 7 beweisen

Question

Aufgabe: Dieter behauptet eine Regel zu kennen, mit der man die Teilbarkeit einer Zahl durch 7 feststellen kann.

Er sagt: Die Zahl a9a8…a1a0|10  ist genau dann durch 7 teilbar, wenn

a0+3a1+2a2−a3−3a4−2a5+a6+3a7+2a8−a9

durch 7 teilbar ist.

Seine Begründung lautet: Ist doch klar, wenn wir z.B. die Zahl 2317 nehmen, ergibt sich 7+3+6−2+0=14  also ist 2317 durch 7 teilbar, denn 2317=7⋅331 . Beweisen oder widerlegen Sie Dieters Teilbarkeitsreg el.

Problem/Ansatz:

Hi, ich weiß nicht, wie ich das beweisen kann, also in dem Beispiel stimmt das ja, aber ich weiß nicht, wie man das generell zeigt.

Danke schonmal

Answer 1

a9a8…a1a0|10

= a0 + a1*10 + a2*100 + a3*1000 +...+a9*1000000000

= a0 + a1(7+3) + a2(98+2) +a3(1001-1) +...

also die Zehnerpotenz immer zerlegt in eine

durch 7 teilbare Zahl ± eine kleine Zahl.

Dann kann man die Klammern auflösen

= a0 + a1*7+3*a1 + a2*98+2a2 +a3*1001-1*a3 +...

und die mit den Vielfachen von 7 spielen ja für die

Teilbarkeit durch 7 keine Rolle und es bleibt genau

die Summe übrig, die angegeben war.

Comments

Oh okay super danke :) und wie bist du darauf gekommen?

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Die "Begründung" , die da angegeben war,

war ja eh Banane. Also habe ich mal ein wenig

probiert.

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Achso okay, dankee :)

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Obwohl muss bei a0 nicht 3 eingesetzt werden? Und dann käme ja 21 raus, was durch 7 teilbar wäre?

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Da ist was dran. Habe mich wohl vertan.

Dann muss man noch was probieren.

Oder stimmt es vielleicht doch ?

a9a8…a1a0|10 

= a0 + a1*10 + a2*100 + a3*1000 +...+a9*1000000000

= a0 + a1(7+3) + a2(98+2) +a3(1001-1) +...

also die Zehnerpotenz immer zerlegt in eine

durch 7 teilbare Zahle ± eine kleine Zahl.

Dann kann man die Klammern auflösen

= a0 + a1*7+3*a1 + a2*98+2a2 +a3*1001-1*a3 +...

und die mit den Vielfachen von 7 spielen ja für die

Teilbarkeit durch 7 keine Rolle.

Ich setze das jetzt auch oben rein.

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Ah okay das macht auf jeden Fall Sinn mit der 10erpotenz. Also habe ich das richtig verstanden und die Aussage stimmt?