Teilbarkeit natürliche Zahlen. Zeige: n^6 + 6 ist durch 7 teilbar.

Question

Die Aufgabe lautet:

Sei n Element der ganzen Zahlen.

Beweise, dass genau eine der beiden Zahlen n und n⁶ + 6 ist durch 7 teilbar.

Kann mir jemand dabei helfen, bin so ziemlich überfordert.

Answer 1

Angenommen n ist  durch 7 teilbar. Dann ist n⁶ auch durch 7 teilbar (wegen n⁶ = (7m)⁶ = 7⁶m⁶=7·7⁵ m⁶ für ein geeignetes m∈ℤ,, mit dem dann auch 7⁵m⁶ ∈ℤ ist). Also hat n⁶+6 bei Division durch 7 den Rest 6 und ist daher nicht duch 7 teilbar.

Es ist also höchstens eine der beiden Zahlen durch 7 teilbar.

Es muss noch gezeigt werden, dass mindestens eine der Zahlen durch 7 teilbar ist.