Zeige, dass diese diophantische Gleichung eine ganzzahlige Lösung hat!

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die diophantische Gleichung 1337 x + 5 y = 69. Hat diese Gleichung eine ganzzahlige Lösung? Begründen Sie Ihre Antwort!

Betrachten Sie die diophantische Gleichung 963 x + 3 y = 5. Hat diese Gleichung eine ganzzahlige Lösung? Begründen Sie Ihre Antwort!

Problem/Ansatz:

Wie löse ich das? Habs mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus versucht aber das macht ja nur bei ax+by=0 Sinn... dann hab ich es so versucht:

1337 x + 5 y = 69 (mod 1337)

5y = 69 -> Keine Ganzzahlige Lösung??

Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen :)

Answer 1

Hallo

da 1337=7*191 und 5 denn gut 1 haben, kann man mit den euklidischen Algorithmus denn ggT also 1 und damit auch alle Vielfachen darstellen.

dein Satz "aber das macht ja nur bei ax+by=0 Sinn." ist falsch, das geht sicher nicht bei Teilerfremden Zahlen, da hast du was falsch verstanden, richtig ist, man kann für zwei  Zahlen

a,b mit ggT(a,b)=c immer eine Darstellung x*a+y*b=c finden,  x,y aus ℤ und damit natürlich auch für Vielfache von c.

Gruß lul