Erweiterten Euklidalgorithmus / Diophantische Gleichung

Question

Aufgabe:

Eine Musikgruppe verkauft Fanartikel zu einem Preis von 39 Euro und CDs zum Preis von 19 Euro pro Stück. Nach einer Woche hat die Gruppe 4975 Euro eingenommen.
a) Stellen Sie eine Diophantische Gleichung auf.
b) Berechnen Sie mit dem erweiterten Euklidalgorithmus die allgemeinen Lösungen.
c) Berechnen Sie unter Verwendung von Kongruenzen die allgemeine Lösung für dieses Problem.
d) Geben Sie abschließend tabellarisch alle positiven Lösungen für die Stückzahlen an.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider die gesamte Aufgabe nicht - ich weiss nicht, wie ich eine Diophantische Gleichung aufstelle, und mit dem Euklidalgorithmus etc. komme ich auch nicht klar.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!

Vielen Dank!

Answer 1

Eine Musikgruppe verkauft Fanartikel zu einem Preis von 39 Euro und CDs zum Preis von 19 Euro pro Stück. Nach einer Woche hat die Gruppe 4975 Euro eingenommen.

a) Stellen Sie eine Diophantische Gleichung auf.

39·x + 19·y = 4975

b) Berechnen Sie mit dem erweiterten Euklidalgorithmus die allgemeinen Lösungen.

39 = 2·19 + 1 → 1 = 1·39 - 2·19
19 = 19·1 + 0

1 = 39·(1 + k·19) + 19·(-2 - k·39)
4975 = 39·(4975 + k·19) + 19·(-9950 - k·39)

c) Berechnen Sie unter Verwendung von Kongruenzen die allgemeine Lösung für dieses Problem.

...

d) Geben Sie abschließend tabellarisch alle positiven Lösungen für die Stückzahlen an.

4975 = 39·16 + 19·229
4975 = 39·35 + 19·190
4975 = 39·54 + 19·151
4975 = 39·73 + 19·112
4975 = 39·92 + 19·73
4975 = 39·111 + 19·34

Answer 2

Wenn x Stück zu 39 Euro und y Stück zu 19 Euro verkaufen,

sagt die Gleichung 39x+19y=4975.

Und weil x und y nur ganze Zahlen sein können ist es eine

diophantische Gleichung.

Answer 3

39x+19y=4975

39=19*2+1

(19*2+1)x+19y=4975

19*(2x+y)+x=4975=19*261+16

x=19*(261-2x-y)+16

x=19*n+16

39*(19*n+16)+19y=4975

19y=4975-39*(19*n+16)=19*(229-39n)

y=229-39n

x	16	35	54	73	...
y	229	190	151	112	...