Als Erstes ist ja eine zyklische Gruppe abelsch, d.h. wenn Du zwei Elemente x und y in Deiner Gruppe G findest mit xy und yx verschieden, dann kann G nicht zyklisch sein.
Ist die Gruppe G abelsch und endlich, sagen wir G hat n Elemente, dann kann man den Hauptsatz der endlichen abelschen Gruppen anwenden. Insbesondere falls n quadratfrei ist, d.h. wenn in der Primfaktorzerlegung von n keine Primzahl zweimal vorkommt, dann ist G zyklisch. Ist n nicht quadratfrei, dann kann man erst einmal nichts weiter sagen und Du musst Dir die Elemente genauer ansehen. Beispielsweise sind \(\mathbb{Z}_4\) und \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) zwei Gruppen mit vier Elementen, aber nur die Erste ist zyklisch.
Ist G abelsch und unendlich, dann wäre diese zyklisch genau dann wenn sie isomorph zu \(\mathbb{Z}\) ist.
