Umgebungsungleichung f(Uδε(2) ⊆ Uε(f(2)) lösen für f(x)= 5(x-2)²+6 in x0=2.

Question

Bei folgender Aufgabe weiß ich nicht genau, was von mir verlangt wird.

f(x)= 5(x-2)²+6

" Bestimmen Sie für die Stelle x0=2 und jede Zahl ε > 0 eine positive Zahl δ_ε  so, dass gilt:

f(U_δε(2) ⊆ Uε(f(2)) "

Das Ergebnis ist δ_ε = $$ \sqrt { \frac { ε  }{ 5 }  }   $$   (oben steht ε also ε/5 unter der Wurzel)

Naja die Aufgabe ist bestimmt nicht schwer, nur weiß ich nicht genau, was ich wo einsetzen muss...

gruß Michael

Answer 1

Hi,

du suchst \( \delta_{\varepsilon} > 0 \) für ein \( \varepsilon > 0 \), so dass

$$ f((2-\delta_{\varepsilon}, 2 + \delta_{\varepsilon}) ) \subset ( 6 - \varepsilon, 6 + \varepsilon)$$ 

Wenn du dir die Funktion ansiehst, siehst du, dass bei \( x = 2 \) der Scheitelpunkt liegt, die Funktion nie kleiner wird als 6 und eine nach oben geöffnete Parabel ist. Also musst du im Grunde nur berechnen wann

$$ 5 \cdot \delta_{\varepsilon}^2+6 < 6 + \varepsilon $$

Die Antwort hast du ja schon.

Gruß