Bestimme für die Stelle x0=2 und jede Zahl ε > 0 eine pos. Zahl δε > 0, so dass gilt: f(Uδε(2)) ....

Question

Bestimme für die Stelle x₀=2 und jede Zahl ε > 0 eine pos. Zahl δ_ε > 0, so dass gilt:

\( f\left(U_{\delta_{\varepsilon}}(2)\right) \subseteq U_{\varepsilon}(f(2)) \)

Die Funktion ist: f(x)= 5(x-2)^{2}+6

Comments

Du sollst hier nicht die Stelle x0=2 bestimmen. Die ist ja gegeben. Ich habe deshalb oben das Wörtchen 'für' eingefügt.

Zu zeigen ist hier, dass die angegebene quadratische Funktion an der Stelle x0=2 stetig ist.

Answer 1

f(x)= 5(x-2)²+6              Parabelgleichung in Scheitelpunktform

f(2) = 5*0 + 6 = 6

Uε(f(2)) = (6-ε, 6+ε), Epsilonumgebung von f(2)

Ich schreibe nun E und D für Epsilon und Delta

Sei E > 0 gegeben.

UE(f(2)) = (6-E, 6+E)  

Zu bestimmen ist nun D Element  R, D> 0

so dass f(UD(2)) = f((2-D,2+D)) ⊆ UD(f(2))  

Nun gilt: Je weiter weg von x=2, desto grösser der die Differenz der y-Werte von 6. Wir betrachten den Rand von UD(2). 

Aus Symmetriegründen (f ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt S(2 | 6)) ist f(2-D)=f(2+D) = 5(2+D-2)^2 + 6 = 5D^2 + 6

Nun ein D so zu bestimmen, dass f(2+D) < 6 + E

Also 5D^2 + 6 ≤ 6+E

5D^2 ≤ E

D^2 ≤ E/5

D≤ √(E/5).

Wir können somit D_E = √(E/5) wählen. qed. f(x) ist stetig an der Stelle x0=2.