Aufgabe:
Sei f: (0,∞) → R, f(x) = \( \frac{1}{x+√x} \). Zeige, dass f in \( x_{0} \)=1 stetig ist mit der ε-δ-Definition für Stetigkeit.
Problem/Ansatz:
Sei ε > 0 beliebig und \( x_{0} \) = 1. Wähle dann δ(ε) = min{\(\frac{3}{4}\) , \(\frac{ε}{4}\)} > 0. Denn dann gilt für alle x∈(\( x_{0}\)-δ,\( x_{0}\)+δ):
|f(x)-f(\( x_{0} \))| = |\( \frac{1}{x+√x} \) - \( \frac{1}{2} \)| = |\( \frac{2-x-√x}{2(x+√x)} \)| = |\( \frac{x-2+√x}{2(x+√x)} \)| = |\( \frac{x-1+√x-1}{2(x+√x)} \)| ≤ \( \frac{|x-1|}{|2(x+√x)|} \) + \( \frac{|√x-1|}{|2(x+√x)|} \) ≤ \( \frac{|x-1|}{|2(\frac{1}{4}+\frac{1}{√4})|} \) + \( \frac{|√x-1|}{|2(\frac{1}{4}+\frac{1}{√4})|} \)
= \( \frac{|x-1|}{\frac{3}{2}} \) + \( \frac{|√x-1|}{\frac{3}{2}} \) ≤ 2|x-1| + 2|√x-1| ≤ 2|x-1| + 2|x-1| = 4|x-1| < 4δ = ε.
Nun zu meiner Frage:
Da ich δ > 0 im Prinzip frei wählen darf, fordere ich das δ ≤ \( \frac{3}{4} \) ist. Denn dann gilt:
∀ x ∈ {x ∈ R | |x-1| < \( \frac{3}{4} \) } ⇒ x ∈ (1 - δ, 1 + δ) = (\(\frac{1}{4}\),\(\frac{7}{4}\)). Das tue ich deshalb, damit ich die Abschätzung die in rot markiert in meinem Ansatz, durchführen kann. Somit ergibt sich dann die Wahl meines δ mit δ(ε) = min{\(\frac{3}{4}\) , \(\frac{ε}{4}\)}.
Ist aber diese Abschätzung überhaupt zulässig? Es fühlt sich so an, als ob ich ein Fehler in meiner Argumentation habe, den ich aber nicht sehe..
Gleichzeitig wusste ich auch nicht, wie ich sonst abschätzen kann/soll um auf ein gewünschtes Ergebnis zu kommen.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
