Zeige, dass 1/(x-1)^2 für x \neq 1 stetig ist.

Question

Aufgabe:

Zeige mit der \( \epsilon - \delta \)-Charakterisierung, dass $$ g: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \begin{cases}       \frac{1}{(x-1)^{2}} & \text{wenn } x \neq 1 \\       0  & \text{wenn } x = 1   \end{cases} $$

auf \( \mathbb{R}/ \{1\} \) stetig ist, nicht jedoch in \( x_{0} = 1 \)

Problem/Ansatz:

Hey Leute,

hier mein bisheriger Ansatz:

$$\mid f(x) - f(y) \mid = \mid \frac{1}{(x-1)^{2}} - \frac{1}{(y-1)^{2}} \mid = \mid \frac{y^{2} - x^{2} + 2 (x-y)}{(x-1)^{2} \cdot (y-1)^{2}} \mid < \mid \frac{y^{2} - x^{2} + 2 \delta}{(x-1)^{2} \cdot (y-1)^{2}} \mid $$

Hier habe ich schon alle möglichen Abschätzungen probiert, aber bisher ohne Erfolg. Hätte jemand von euch eine Idee wie ich das y rausbekomme? Vorallem der Term \( (y-1)^{2} \) macht mir Probleme, da der Term bei 1<y<2 die Funktion zum divergieren bringt :/

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.

LG Syntax

Answer 1

Wie wäre es mit

\(\mid f(x) - f(y) \mid = \mid \frac{1}{(x-1)^{2}} - \frac{1}{(y-1)^{2}} \mid = \mid \frac{y^{2} - x^{2} + 2 (x-y)}{(x-1)^{2} \cdot (y-1)^{2}} \mid \)

\(  = \mid \frac{(y-x)(y+x) + 2 (x-y)}{(x-1)^{2} \cdot (y-1)^{2}} \mid =\mid x-y \mid \cdot \mid \frac{(y+x) + 2 }{(x-1)^{2} \cdot (y-1)^{2}} \mid \)

und dann weiter abschätzen ?