Inneres, Abschluss und Rand bestimmen

Question

Hallo zusammen, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie Inneres, Abschluss und Rand der folgenden Mengen.

Sei \( (M, d)=(\mathbb{R},|| \).\( ) . \)
(a) \( M_{1}=[-1,1) \cap[0,1] \)
(b) \( M_{1}=[0,1) \cup(1,2) \cup\{3\} \)

Sei \( (M, d)=\left(\mathbb{R}^{2}, d_{E}\right) \), wobei \( d_{E} \) die euklidische Metrik bezeichne. Bestimmen Sie Inneres, Abschluss und Rand der folgenden Mengen.
(a) \( M_{1}=[0,1) \times(-1,2) \)
(b) \( M_{3}=\mathbb{Q}^{2} \)

Ich habe kein Plan wie man das macht, da ich die vergangenen Vorlesungen krankheitsbedingt verpasst habe :(

Bin gerade dabei alles verpasste nachzuholen, was sehr schwer ist, wäre daher für jede Hilfe dankbar!

Answer 1

Ein innerer Punkt einer Menge A ist dort einer, zu dem es

der eine ganze offene Umgebung gibt, die noch in A enthalten ist.

Bei einem Intervall von ℝ sind das jedenfalls alle

Punkte im Inneren des Intervalls. Die Randpunkte muss man

extra betrachten. Zum Beispiel ist es bei

\( M_{1}=[-1,1) \cap[0,1] \) so, dass man erst mal überlegen

muss, was \( [-1,1) \cap[0,1] \) ist. Das ist \( M_{1}=[0,1) \).

Und außer der 0 gibt es bei jedem Punkt von M1 eine

Umgebung die ganz zu M1 gehört. Damit ist das Innere

von M1 das offene Intervall von 0 bis 1, also

\( M_{1}^{0}=(0,1) \).

Bei Abschluss muss man ähnlich überlegen: Gibt es Punkte, die

selber nicht in M1 liegen, aber jede Umgebung des Punktes

enthält Elemente aus M1. Das hier der Punkt 1. Der Abschluss

von M1 entsteht, wenn man zu M1 diesen Punkt hinzunimmt,

also ist der Abschluss von M1 = [0,1] das abgeschlossene (!)

Intervall von 0 bis 1. Und Abschluss ohne Inneres ist der

Rand, hier also die Menge {0,1}.

Comments

ist es bei der b) dann

inneres: M₂ = (0,1)   (die größte offene Menge ist, die vollständig in M2 enthalten ist

äußeres: M₂ = [0,1]∪{3}  (da 0 und 1 bereits im inneren liegen und 3 am rand liegt)

rand: M₂ = {0,1,3}

falls es stimmt, wie genau sieht hier die richtige notation aus und wie begründet man das alles richtig? weil ich habe die befürchtung, dass meine begründung nicht ausreicht, damit es als richtig akzeptiert wird. und wie begründe ich den rand hier?

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inneres: M2 = (0,1)∪(1,2)  (die größte offene Menge ist, die vollständig in M2 enthalten ist

äußeres: Ging es nicht um den Abschluss ???. Das wäre

[0,2]∪{3}

rand: M2 = {0,1,3}✓

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danke!

ich hoffe man kann mir noch meine restliche fragen beantworten

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Für M3 schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/880785/bestimmen-sie-rand-inneres-abschluss-folgenden-teilmengen

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danke sehr, jetzt verstehe ich es schon ein wenig besser, jedoch verwirrt mich diese aufgabe \( M_{1}=[0,1) \times(-1,2) \)

wie genau soll man dies verstehen?

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Anschaulich ist das ja in der xy-Ebene das Rechteck

mit den Ecken (0;-1), (1;-1),(1;2) und (0;2), wobei

die Ränder teils dazu und teils nicht dazu gehören.

Allerdings ist das Innere sicherlich \( (0,1) \times(-1,2) \),

also alle Ränder weg.

Der Abschluss ist \( [0,1] \times [-1,2] \) und der Rand besteht

eben aus den Rändern, das wäre die Vereinigung der

4 Randstrecken {0}x[-1;2] ∪ {1}x[-1;2] ∪ [0,1]x{-1}∪ [0,1]x{2}

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boah das macht sinn.

mir hat diese veranschulichung gefehlt, vielen dank fürs erklären :)