Rand, Inneres und Abschluss

Question

Aufgabe:

stehe momentan leider bei folgender Aufgabe an und würde mich über eure Hilfe freuen.

Sei $$A :=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, 0\right) \in \mathbb{R}^{3} | x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}, x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq 1\right\} \text { und } V :=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, 0\right) \in \mathbb{R}^{3} | x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}\right\}$$ gegeben.

(a) Bestimme Rand und Inneres von A in (R³,|-|₂).

(a) Ist A in (V,|-|₂) abgeschlossen?

(b) Bestimme Rand und Inneres von A in (V,|-|₂).

Problem/Ansatz:

(a) Der Rand ist $$\partial A :=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, 0\right) \in \mathbb{R}^{3} | x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}, x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 1\right\}$$ und das Innere ist $$A^0 :=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, 0\right) \in \mathbb{R}^{3} | x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}, x_{1}^{2}+x_{2}^{2} < 1\right\}$$

(b) Die Menge A ist in (V,|-|₂) offen, da die dritte Komponente jedes Vektors in der Menge A den gesamten Raum ausfüllt, oder?

(c) Sind Inneres und Abschluss hier nicht das gleiche, wie oben?

Comments

|-|2

ist die verwendete Norm (?) 

Was ist (c) ?

Arbeitest du bei (a) nicht mit offenen dreidimensionalen Bällen oder mit Kreisen?

Answer 1

a) Es gibt keine inneren Punkte von A.

Denn jeder Punkt von A hat ja Koordinaten der Form  P ( x,y,0)

Dann ist (x,y,ε/2) immer in jedem ε-Ball um P, aber nicht in A.

Also enthält jeder  ε-Ball um P Punkte, die nicht in A liegen

und damit ist P kein innerer Punkt.

Alle Punkte P von A sind Randpunkte; denn jeder  ε-Ball um P

enthält Punkte aus A und aus dem Komplement von A.

b)  In V ist A wohl abgeschlossen; denn das Komplement

von A ist { (x,y,0) | x^2 + y^2 > 1 } und das ist offen in V.

c) Hier ist deine Lösung von a) angebracht.

Comments

Danke dir vielmals.