Inneres, Abschluss, Rand von NxQ auf R^2

Question

Hi zusammen,

ich komme mit dieser Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen Sie Inneres, Abschluss und Rand folgender Teilmenge $$ A\subset { \mathbb{R}  }^{ n }: $$

$$ {  \mathbb{N} }_{ 0 } \times \mathbb{Q} \subset { \mathbb{R} }^{ 2 }$$

Die Aufgabe geht eigentlich noch weiter bzw, hat nachfolgende Teilaufgaben, die ich hier mal weggelassen habe.

Ich weiß, dass wenn ich alles "aufmale" ich immer eine Vertikale mit Abstand 1 habe. Hilft das mir, daraus die Häufungspunkte zu ermitteln.

Ich kann mit auch vorstellen, dass das Innere leer ist, da man kein Kreis findet, dass komplett in der Menge liegt.

Ist der Weg richtig, wenn ja, wie kann man das Formell verschriftlichen und wie komme ich an die Lösung?

Answer 1

Bestimme zuerst den Rand von \(\mathbb{N}_0\times\mathbb{Q}\). Weise dazu nach, dass gerade die Punkte \((n,x)\) mit \(n\in\mathbb{N}_0\) und \(x\in\mathbb{R}\) Randpunkte sind. Zur Erinnerung die Definition von Randpunkt: In jeder Umgebung liegen Punkte aus der Menge und auch welche aus dem Komplement.