Zeigen, dass zwei Variablen eindeutig bestimmt sind.

Question

ich habe folgende Aufgabe bekommen:

"Es seien a, b ∈ K mit a ≤ b. Zeigen Sie, dass es zu jedem r ∈ K

mit r ∈ [a, b] Elemente x, y ∈ [0, 1] gibt mit

r = xa + yb und x + y = 1.

Sind x, y eindeutig bestimmt?"

Ich finde leider keine genaue Definition für Eindeutig bestimmt.

Ich bin jetzt aber so an die Aufgabe gegangen dass ich eine Fallunterscheidung gemacht habe für alle Möglichkeiten.

a<b r=a, a<b r=b, a=b r=b und als letztes a<b und a<r<b

Das Problem ist ich weiß nicht wie ich "a<b und a<r<b" zeigen soll und ob meine Herangehensweise überhaupt richtig ist.

Grüße

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie beweise ich diese Aussage (r=xa+yb und x+y=1) wenn x,y∈[0,1] und r∈[a,b]?

Stichworte: algebra,beweis,analysis

Es seien a,b∈K mit a≤b. Zeigen Sie, dass es zu jedem r∈K mit r∈[a,b] Elemente x,y∈[0,1] gibt mit

r=xa+yb und x+y=1

einen wirklichen Ansatz habe ich leider nicht.

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https://www.mathelounge.de/629630/zeigen-dass-zwei-variablen-eindeutig-bestimmt-sind?show=629653#c629653

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Ups, habe ich nicht gesehen, dann bin ich nicht der einzige, der mit der Übungsaufgabe Probleme hat...!

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Dann solltet ihr einen Verein gründen. :-)

(Vermutlich werden die Fragen wieder unnötigerweise zusammengeführt, was überhaupt nicht sinnvoll ist!)

Answer 1

Hallo

 warum löst du nicht einfach das GS etwa indem du x+y=1 mit a multiplizierst und die  2 Gleichungen subtrahierst und nach y auflöst,   dann sieh dir die Bedingungen a<=r<=b an und zeige dass y in [0,1] liegt dann gilt das wegen x=1-y auch für x

Gruß lul

Comments

Ich habe es jetzt mal für den letzten Fall versucht und folgendes gemacht:

Die x+y=1 mit a multipliziert und die Gleichung r=ax+by davon abgezogen,

dadurch habe ich a-r=ay-by bekommen und das nach y aufgelöst.

(a-r)/(a-b)=y

Da a<r, r<b und a<b ist der Nenner immer größer als der Zähler und y<1. Da x=1-y ist ist x auch kleiner 1 und dementsprechend sind x,y in [0,1] und beide eindeutig bestimmt.

Habe ich das so richtig verstanden?

Und danke für deine Hilfe

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Hallo f4lk, du studierst wohl in Frankfurt?

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Und als Tipp:

Denk mal geometrisch. Sei \(R\) ein Punkt auf einer geraden Linie \((AB)\). Das heißt, dass \(\vec{AR}=t\cdot \vec{AB}\). Wenn \(R\) ein Punkt auf dem Geradenabschnitt liegt, dann haben wir \(t\in[0,1]\).

Wie kann das nun auf die Algebra transponieren?

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Hallo f4lk

 ja es ist richtig, aber bei dir sind  Zähler und Nenner ja negativ, also erweitere dein Ergebnis mit -1 und schreibe y=(r-a)/(b-a)  1. positiv oder 0, weil a<=r und b<a, 2. kleiner gleich 1 weil r<=b, also der Nenner >=Zähler.

Gruß lul