Grenzwertberechnung mit Variablen - braucht man eine Fallunterscheidung?

Question

Halllooo,

Ich muss mit der h-Methode  \(\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}\right)\) berechnen. Muss ich hier eine Fallunterscheidung für \(x_0\) machen?

Für \(x_0>0\) habe ich bereits als Ergebnis \(2\cdot x_0\).

Answer 1

Nach der dritten binomischen Formel lässt sich der Quotient zu x+x_0 kürzen.

Das ist völlig unabhängig davon, ob x<x_0 oder x>x_0.

Man braucht also keine Fallunterscheidung.

Comments

Und was ist mit Fall x_0=0?

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Es gibt bei der h-Methode folgende Szenarien:

x:= h+x_0

x:= h-x_0

x:=h+0

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Das "dritte Szenario" ist doch das erste (mit dem Spezialfall x_0=0).

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Der Term vereinfacht sich zu $$\frac{x²-0²}{x-0}=x$$

(von mir aus auch zu x+0), und der Grenzwert für x gegen Null ist 0 (was das Gleiche ist wie 0+0=2*0).

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Danke, ich habe es einigermaßen verstanden. Sollte die Berechnung von meinem ersten Kommentar auf die zweite Antwort dann aber nicht auch zu \(2x_0\) führen?

Answer 2

Muss ich hier eine Fallunterscheidung (...) machen?

Nein.

Comments

Ok, wo liegt dann mein Fehler? Für denn Fall \(x_0<0\):$$\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}\right), x:=h-x_0$$$$\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{(h-x_0)^2-x_0^2}{h-x_0-x_0}\right)$$$$\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{h^2-2hx_0+x_0^2-x_0^2}{h-x_0-x_0}\right)$$$$\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{h^2-2hx_0}{h-2x_0}\right)$$$$\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{h(h-2x_0)}{h-2x_0}\right)$$$$\lim\limits_{h\to 0}(h)=0$$

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Du musst \(h=x-x_0\), also \(x=h+x_0\), verwenden.

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Dein Ansatz ist falsch. Keine Ahnung, wie du darauf gekommen bist.

Ich glaube, du verwechselt das was und vermischt zwei Methoden.

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Es ist doch immer so. Folgendes Beispiel:$$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$ Nun definiere ich \(x:=h+2\):$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{(h+2)^2-4}{h+2-2}$$$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{h^2+4h}{h}$$$$\lim\limits_{h\to0}h+4=4$$

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würde dort nun -2 stehen, dann wäre es \(x:=h-2\)

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Bei einem Beispiel merkt man es. Was ist in meiner Berechnung oben falsch?

Ich berechne mal \(\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}\right)\)) mit \(x_0=-2\) mit der h-Methode:$$\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^2-(-2)^2}{x-(-2)}$$$$\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^2-4}{x+2} \quad x:=h-2$$$$\lim\limits_{h \to 0}\frac{(h-2)^2-4}{h}$$$$\lim\limits_{h \to 0}\frac{h^2-4h}{h}$$$$\lim\limits_{h \to 0}\frac{h(h-4)}{h} =-4$$ keine Fallunterscheidung.

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Warum ist dann meine Berechnung oben falsch? Oder wo liegt der Fehler?

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Du hast falsch substituiert, aber das hatte ich schon erwähnt, siehe oben!

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Ja, merke ich auch gerade. War ein Denkfehler.